运用“预设概念”揭示教科书关于√2不是有理数的证明是无效的

yangls728

运用“预设概念”揭示教科书关于√2不是有理数的证明是无效的
杨六省
yangls728@163.com
引子：
大道至简。婚宴尚未开始，主持人便在台上问道：“亲友们，大家都吃好了吗？”瞬间，台下哄堂大笑！那么，是不是所有违反常识的现象都是这么容易被识别的呢？不是的。例如，接下来的例子虽说只是上述违反常识事例在数学中的一个变体，但它在25个世纪的时间里却骗过了所有人！不过，如果我们把教科书中√2不是有理数的反论题√2=p/q（p，q互质）换成疑问句——“√2是最简分数吗？”并与婚宴场景作如下对应类比，那么，√2不是有理数传统证明方法所设定的反论题——√2=p/q（p，q互质）的本质及荒谬性就暴露出来了：
“√2是最简分数吗？”对应于婚宴主持人“亲友们，大家都吃好了吗？”
“论证者假设：√2是最简分数。”对应于“假设婚宴客人回答：是的，吃好了。”
说明：两个问句都是在提问条件并不存在的情况下作出的（注：只有当√2真的是分数时（不是假设），“√2是最简分数吗？”的提问才有意义），所以，两个提问及相应的回答都是没有意义的。
本人大约是在2016年发现教科书中关于√2不是有理数的证明是无效的。引起思想纠结的原因是——√2是不是有理数涉及的是有理数与无理数之间的矛盾，即“√2=p/q”中的p和q 能否都是整数？而√2是不是最简分数涉及的是有理数系统内部的的矛盾，即“√2=p/q”中的两个整数p和q 能否互质？。因此，教科书把√2=p/q（p，q互质）设定为“√2不是有理数”的反论题，就是把有理数与无理数之间的矛盾变成了有理数系统内部的矛盾，这就如同要用境内法来审查入境资格一样背理！
笔者认为，教科书关于“√2不是有理数”的证明存在五个方面的错误：
一、由√2=p/q（p，q 都是整数）推不出√2=p/q（p，q互质）
二、把√2=p/q（p，q互质）作为“√2不是有理数”的反论题是错误的
基于运用“预设概念”这一新论据，为了方便起见，我们把上述两个方面放在一起讨论。
近代，第一个把预设作为逻辑概念加以认真讨论的是德国哲学家弗雷格（1848-1925）。其实，早在古希腊时代，人们就提出了涉及预设概念的著名提问——“你已经停止打你的父亲了？”（黑格尔《哲学史讲演录》第二卷第122页）我们很容易从网上或语言学书籍中查到语义预设概念的定义。
定义 语句A预设语句B，当且仅当（Ⅰ）若A则B，并且（Ⅱ）若非A则B。也就是说，若A为真，则B为真，若A为假，则B也为真；特别地，当B为假时，A既不能为真也不能为假。
对B为假的情况的解释：
①假设A为真，则可推出B，与B为假矛盾；假设A为假，则同样可推出B，同样与B为假矛盾，故A既不能为真也不能为假。
②由B推不出A或非A，理由是——“如果论证的前提不真，那么就不能确立其结论的真，即使从前提到结论的推理是正确的。”（参见欧文·M·柯匹、卡尔·科恩.逻辑学导论（第11版）[M].张建军，潘天群译.北京：中国人民大学出版社，2007年,第161页）
如果把语义预设概念运用到我们所讨论的问题，那么，结论是，两千多年来一直被人们奉为经典的√2不是有理数的传统证明方法其实是错误的：
若√2=p/q（p，q互质），则√2=p/q（p，q 都是整数），
若√2=p/q（p，q非互质），则√2=p/q（p，q 都是整数），
这就是说，√2=p/q（p，q互质）预设√2=p/q（p，q 都是整数）。
已知√2=p/q（p，q 都是整数）为假，依据语义预设概念的定义，√2=p/q（p，q互质）无真假，所以，教科书把它作为√2不是有理数的反论题是错误的。再者，依据语义预设概念的定义，由√2=p/q（p，q 都是整数）推不出√2=p/q（p，q互质），所以，教科书中“假设√2是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得 p/q=√2”这个看似天经地义的断言其实是错误的。
笔者还想说的是，如果由√2=p/q（p，q 都是整数）可以推出√2=p/q（p，q 互质），那么，以同样的理由（任何有理数都可以化为非最简分数）由√2=p/q（p，q 都是整数）也可以推出√2=p/q（p，q 非互质），对此，笔者的质疑是，教科书为什么偏偏要选择前者而不选择后者呢？
需要注意的是，一定要把应用反论题进行推理（反证法）与对反论题本身进行推理区别开来（注：二者的区别是，前一种推理不会使反论题发生改变，也就是说，反论题被认为是唯一的；后一种推理则会使反论题发生改变并取代原来的反论题，也就是说，反论题被认为可以有两个。例如，在教科书中，经后一种推理，反论题由“√2是分数”变成了“√2是最简分数”（注：这是偷换概念——最简分数是分数的下位概念，二者不在同一逻辑层次），于是接下来，教科书就以“√2是最简分数”作为“√2不是有理数”的反论题展开论证）。事实上，后一种推理是不合理的，理由是，推理的前提（反论题）不真，不能确立其结论的真。例如，“你从未打过父亲”的反论题是“你打过父亲”，但是，下面的推理是错误的：既然假设了“你打过父亲”（记作B），那么，要么“你已经停止打父亲”（记作：A），要么“你仍在继续打父亲”（记作：非A），所以，可以将“你已经停止打父亲”或“你仍在继续打父亲”作为“你从未打过父亲”的反论题。25个世纪以来，人们一直认为，由√2=p/q（p，q 都是整数）推出√2=p/q（p，q互质）是理所当然的事，那么，请问：如果有人把“你已经停止打父亲”或“你仍在继续打父亲”作为“你从未打过父亲”的反论题，想想看，无论你否定哪一个，都表明另一个成立，都说明“你打过父亲”，对此，你情何以堪？这里还要插一句——教科书中的“假设√2=p/q（p，q互质）”（即“假设√2是最简分数”）
与这里的“假设你已经停止打父亲”或“假设你仍在继续打父亲”在逻辑上没有什么两样，同样是荒谬的！所不同的是，前者由于远离生活常识，其荒谬性不易被识别罢了——想想看，对于上述那个错误的推理，如果倒过来反向推，不就是语义预设定义中B为假的情况吗？所以说，我们规定对反论题本身不可以进行推理与语义预设概念的定义是一致的。
三、由p2是偶数推不出p也是偶数
由p2是偶数推不出p也是偶数的理由是，传统证明方法首先应用了q是整数这个假设，否则就无法得出p2是偶数之结论，接下来我们看到的便是“由于p2是偶数，p必然也是偶数”这一推理。如果引号中的推理是合理的，再加上此前的q是整数这个假设，那就是说，对于√2=p/q，假设q是整数，则p是偶数。由于偶数也是整数，从而说明√2可表成两个整数之比，但这与我们已知√2不是有理数相矛盾，因此，引号中的推理是不成立的。
还可以这样解释——假设我们已经知道“√2不是有理数”，即已经知道“√2=p/q”中的p和q不可能都是整数。在教科书关于“√2不是有理数”的证明中，前面已经用过了“q是整数”这一假设，否则就不会有2q2和p2是偶数之结论，后面如果再应用“p是整数”由p2是偶数推出p也是偶数，就违反了“√2不是有理数”这一定理，即违反了“√2=p/q”中的p和q不可能都是整数，这是不允许的。对此，有人反驳说，为了否定错误的假设，反证法要求假设必须参与后续推理以推出矛盾，那么，应用“p是整数”这个假设由p2是偶数推出p是偶数,这难道不合理吗？笔者认为，此说法并不成立，理由是，当推出了p是偶数的结论后，依据反证法，理应揭示会有矛盾发生，从而才有可能否定“p是整数”这个错误的假设，但教科书并没有这样做。因此，理由虚假，反驳无效。
上述两种解释都是假设了我们已知√2不是有理数，那么，不借助于已知√2不是有理数，该如何解释“由于p2是偶数，p必然也是偶数”这一推理错误呢？即对于p2=2q2（q是整数），如何证明p不是偶数和p不是整数呢？请看下面笔者的证明。
命题：如果x2=2，那么x不能表成两个整数之比 。
证明：假设存在整数p和q满足（ p/q）2=2。不妨先固定q是整数，于是有p2=2q2（q是整数）：
p不能是奇数，因为奇数的平方不是偶数。
p不能是偶数，如若不然：设p=2r,代入p2=2q2,得q2=2r2，同理，q是偶数；同理，r是偶数；等等。这样，p将含有无限多个因数2，这与算术基本定理（每个大于1的正整数均可分解成有限个素数之积）相矛盾。
所以，p不是整数。
综上，对于（ p/q）2=2，如果q是整数，则p不是整数，这说明原命题为真。
说明：
①论证中出现有p=2r和r是偶数。令r=2r1（r1为整数），代入p=2r，得p=22r1。同理可得p=23r2（r2为整数）。……故p含有无限多个因数2。
②也可以先固定p是整数来证明命题，只是比较麻烦一些，其证明此处从略。
③给初中学生讲授√2不是有理数的证明，可以不提算术基本定理这个专业术语及其内容，具体作法是，教师在板书——这样，p将含有无限多个因数2，矛盾。——这句话时，只需向学生解释“任何偶数不可能含有无限多个因数2”，相信学生是容易理解和接受的。
④笔者关于√2不是有理数的证明与毕达哥拉斯学派的证明没有关系，所以，笔者在说理中有理由把√2不是有理数作为论据加以应用。
四、应用反证法不用反论题，就不是反证法
如果推矛盾不使用反论题，那么，凭什么说反论题是矛盾发生的原因呢？[美]帕特里克·赫尔利著《简明逻辑学导论》（第10版）中译本第310页指出，反证法内容包括“使用这个假设（笔者注：指反论题）得到一个矛盾”。教科书把√2=p/q（p，q 互质）设定为“√2不是有理数”的反论题（姑且不论这种设定是否正确），但是，在推出矛盾的过程中，并没有用到反论题中的“p，q 互质”这一条件，否则，前面推出了p是偶数（姑且不论这种推理是否有效），后面就不可能再推出q也是偶数。据此我们说，推矛盾不使用反论题是教科书证明√2不是有理数所犯的一个论证形式方面的错误，这样的证明是无效的。
五、由“p和q都是偶数”与“假设p与q互质”相矛盾推不出√2不是有理数
上述矛盾只能说明“p与q互质”的假设不成立，但不能说明“p，q 都是整数”的假设不成立。因此，由上述矛盾不能推出√2不是有理数。这里的道理也再一次说明，教科书把√2=p/q（p，q 互质）作为“√2不是有理数”的反论题是错误的。
上述五条错误中的任何一条都可以说明“√2不是有理数”的传统证明方法是无效的。
澄清教科书关于“√2不是有理数”的证明是否有效有着重要的意义。首先，教科书的错误证明包含着诸多对反证法的误解（例如：①反论题与原论题似乎可以不是一真一假的矛盾关系，因为教科书中的反论题√2=p/q（p，q 互质）就没有真假；②推矛盾似乎可以不应用反论题，因为教科书中反论题√2=p/q（p，q 互质）中的“p，q 互质”在推出矛盾的过程中就没有被用到；③应用反证法，似乎只要推出矛盾（无论什么矛盾都行），就表明已经证明了原论题，也不管每一步推理是否都是有效推理，例如，教科书在100多字的简短证明中竟出现4处无效推理（除过文中的一、三、五，还有从p是偶数到q也是偶数的推理，理由是反论题没有参与推理）；等等），会在教学中产生不良的误导，其次，该问题关乎数学史对第一次数学危机这一重要事件的准确表述：第一次数学危机的发生是起因于通过有效证明而发现了“√2不是有理数”，还是歪打正着，通过无效证明而发现了“√2不是有理数”？
加拿大数学史杂志的一位编辑建议笔者写一篇数学教学论文发表。美国著名科学和数学科普作家Mario Livio先生2024-7-19回复笔者时写道：“I suggest that you will attempt to publish your article in one of the mathematical journals.”（“我建议你尝试在数学杂志上发表你的文章。”）基于我们的应试教育环境，教学杂志不会对笔者提出的问题感兴趣，尽管它与重要的反证法教学密切相关。
关于笔者对“√2不是有理数”的证明的说明：
2025-2-15与DeepSeek对话，评语是:“总结来说，这个证明是正确的，虽然可能和常见的版本在表述上有所不同，但逻辑上是严密的，没有问题。”
中科院院士、我国著名数学家张景中先生2025-2-18发来邮件表示：“您的证明是正确的。”
章飞先生（义务教育教科书北师大版数学八年级上册主编）2025-2-19发来邮件表示，“你的证明是正确的。”
附：人教版（2024）数学七年级下册关于“√2不是有理数”的证明：
假设√2是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得
     p/q=√2，
于是
p=√2q.
两边平方得                             
p2=2q2.
由2q2是偶数，得p2是偶数. 而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数.
因此可设p=2r(r是正整数)，代入上式，得4r2=2q2，即
                                    q2=2s2.
所以q也是偶数. 这样，p和q都是偶数，与假设p，q互质矛盾.
这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数.
附：适合初中学生的证明方案：
命题：如果x2=2，那么x不能表成两个整数之比 。
证明：假设存在整数p和q满足（ p/q）2=2。不妨先固定q是整数，于是有p2=2q2（q是整数）：
p不能是奇数，因为奇数的平方不是偶数。
p不能是偶数，如若不然：设p=2r,代入p2=2q2,得q2=2r2，同理，q是偶数；同理，r是偶数；等等。这样，p将含有无限多个因数2，矛盾。
所以，p不是整数。
综上，对于（ p/q）2=2，如果q是整数，则p不是整数，这说明原命题为真。