用 Holder 不等式证明 Minkowski 不等式

luyuanhong

用 Holder 不等式证明 Minkowski 不等式

原创 观云海  未被定义的 Delta  2025 年 06 月 24 日 18:13  上海

我们在上一篇文章谈到了 Holder 不等式的连续和离散形式，而且二者的证明过程是类似的，所以在这里，我将直接给出 Holder 不等式的连续形式，证明过程可参照上篇文章：



其中，p,q 满足：



Minkowski 不等式：



抛开外层的 1/p ，我们对内部积分式先用一次三角形不等式：



然后对左右两个积分同时构造和使用 Holder 不等式，对第一项有：



同理，对第二项有：



将二者加和，有：



在这里，我们假设 f,g 都 Riemann 可积且 f+g 的 Riemann 和不为零（若为零，Minkouski 不等式变成 0≤a（a 非负），这是显然成立的）

同时我们从 1/p+1/q=1 可以得到 (p-1)q=p ，原式变成：



所以，我们可以清楚的知道，不等式两边能同时做积分的除法，两边同时除以 ∫[(f+g)^p]^(1/q)dx ，有：



而 1-1/q=1/p ，即：



注意：我们的 Minkowski 不只是靠 Holder 不等式证明的，Holder 不等式中对 p 的要求是严格大于一，而 p=1 的证明我们在 Schwarz 部分有提到，是用三角形不等式证明的。

同样的，Minkowski 不等式也和前几个不等式一样，有连续和离散两种形式，证明过程也都大同小异，因此我们可以说：

综上，Minkowski 不等式完全证毕。

未被定义的 Delta