.费尔马大定理的互补函数幂函数定理解法

小草

费尔马大定理的互补函数幂函数定理解法

文/施承忠

(一)引理 —— 互补函数的幂函数定理
引理表述：
设存在一对函数u1(t)和u2(t)（t>0），满足以下条件：
(1)互补性：对任意正整数n，有t=u1(t)+u2(t)；
(2)递增性：对于任意正整数t都有t=u^n=[u1(t)]^n+[u2(t)]^n,
u^(k+1)>u^k,[u1(t)]^(k+1)>[u1(t)]^k,[u2(t)]^(k+1)>[u2(t)]^k
(3)幂函数分解性：对任意正整数z，有t=u^n=[u1(t)]^n+[u2(t)]^n.
则当n→∞时，u1(t)→u−Δ1，u2(t)→u−Δ2，其中Δ1,Δ2是关于n的无穷小量（即Δ1,Δ2→0当n→∞）.

(二)命题分析
(1)费尔马大定理的互补性构建
费尔马大定理可表述为：当n≥3时，方程z^n=x^n+y^n无正整数解.
令z(t)=t，则由互补性设x(t)=t&#8722;k，y(t)=k（k为正整数，1≤k<t.
按照互补函数的幂函数定理，n→∞,x→z,y→z,只是x和y趋向z的速率不同.
(2).费尔马大定理方程的正整数性分析
原引理对u1和u2是不要求满足正整数的.但费尔马大定理方程中要求
x,y都是正整数.所以我们可以先令z,x为正整数，再求出z^n和x^n的差，再求出y^n，如果y是正整数，费尔马大定理不成立；如果y不是正整数则费尔马大定理成立.因为x是所有不大于z的正整数，所以x和y可互换.
(3)费尔马大定理方程的同余互补性
方程z^n=x^n+y^n=t1z^(n-1)+t2z^(n-1)，t1+t2=z,这就是方程的同余
互补性.

(三).应用方法和证明
因为如果p^n=x^n+y^n有解那么(mp)^n=(mx)^n+(my)^n就有解.所以我们只要求得n>2,p^n=x^n+y^n无正整数解就可以了.
当n=1时
按照互补性;令z=p,x=p-k,y_1=k,z^1=(z-k)^1+k^1,满足了正整数特征与同余互补性，大定理显然成立.
当n=2时
按照互补函数的幂函数定理，n→∞,x→p,y→p.
zx=x+(z-1)x,zy_1=k+(z-1)k.
因为x=z-k,zx=x^2+kx,z^2-x^2=k+(z-1)k+kx.
让k=1，k+(z-1)k+kx=z+x,此时只要z=[(y^2)+1]/2,
x=[(y^2)-1]/2,那么z+x=(y_2)^2成立,满足了正整数特征与同余互补性并且对于所有的勾股数大定理也显然成立.
当n=3时
在z(x_2)^2=(x_2)^2+(z-1)(x_2)^2,z(y_2)^2
=(y_2)^2+(z-1)(y_2)^2,
此时z-x=k_x,z-y=k_y,
z(x_2)^2=(x_2)^3+(k_x)(x_2)^2,(y_2)^3=(y_2)^2+(k_y)(y_2)^2
+(k_x)(x_2)^2.
因为(x_2)^2+(y_2)^2=z^2我们还可以将(y_2)^2+(k_y)(y_2)^2
+(k_x)(x_2)^2分解成z^2+[(k_y)-1](y_2)^2+[(k_x)-1](x_2)^2.
进一步将z^2+[(k_y)-1](y_2)^2+[(k_x)-1]x^2写成
(y_2)^3+z^2+[(k_x)-1)(x_2)^2+[(k_y)-1](y_2)^2
.
.
.
当n=n时
(y_n-1)^n+z^(n-1)+[(k_x)-1](x_n-1)^(n-1)+[(k_y)-1](y_n-1)^(n-1).
设(y_n-1)^n+z^(n-1)+[(k_x)-1](x_n-1)^(n-1)+[(k_y)-1](y_n-1)^(n-1)=a^n，a肯定不是正整数.
因为在n=3时.若z^2=(x_2)^2+(y_2)^2,x都是正整数，
设(y_2)^3+z^2+[(k_x)-1](x_2)^2+[(k_y)-1](y_2)^2=(y_2)^3+m1,
所以不管x是任何正整数，(y_2)^3+m1,都带有余数m1，而且x,y可互换,若x是正整数，则y不是正整数；若y是正整数，则x不是正整数.
所以得到费尔马大定理通项公式：
z^n-x^n=(y_n-1)^n+[z^(n-1)]+[(k_x)-1](x_n-1)^(n-1)+[(k_y)-1](y_n-1)^(n-1)
设(y_n-1)^n+z^(n-1)+[(k_x)-1)(x_n-1)^(n-1)
+[(k_y)-1)(y_n-1)^(n-1)=(y_n-1)^n+m1=(y_n)^n+m2,
令(y_n-1)=(a+Δ3),(a是正整数).
若z^n-1=x^n-1+(a+Δ3)^n-1，
设(a+Δ3)^n+z^n-1+[(k_x)-1](x_n-1)^(n-1)+[(k_y)-1][(a+Δ3)^n-1]=[(a+Δ3)^n]+m3
这时z^(n-1)>(y_n-1)^(n-1)≈t1b^(n-1),
[(k_y)-1](y_2)^(n-1)>(y_2)^(n-1)≈t2b^(n-1),
[(k_x)-1]x^(n-1)>(y_2)^(n-1)≈t3b^(n-1).
t1+t2+t3>b
实例：
61^2-11^2=60^2
61^2-12^2=59^2+96
61^2-13^2=59^2+71
61^2-14^2=59^2+44
61^2-15^2=59^2+15
61^2-16^2=58^2+101
61^2-17^2=58^2+68
61^2-18^2=58^2+33
61^2-19^2=57^2+111
61^2-20^2=57^2+72
61^2-21^2=57^2+31
61^2-22^2=56^2+101
【】【】【】【】【】
60^3+61^2+(1-1)*60^2+(50-1)*11^2=60^3+9650
59.80803^3+61^2+(1.19197-1)*59.80803^2+(49-1)*12^2
=225,253.02715=59.80803^3+11,319.67678
59.59866^3+61^2+(1.40134-1)*59.59866^2+(48-1)*13^2
=224,784.01643=59.59866^3+13,089.55979
59.37171^3+61^2+(1.62829-1)*59.37171^2+(47-1)*14^2
=224,236.99690=59.37171^3+14,951.72222
59.12698^3+61^2+(1.87302-1)*59.12698^2+(46-1)*15^2
=223,605.985835=59.12698^3+16,898.07771
58.86425^3+61^2+(2.13575-1)*58.86425^2+(45-1)*16^2
=222,884.99568=58.86425^3+18,920.37366
58.58327^3+61^2+(2.41673-1)*58.58327^2+(44-1)*17^2
=222,067.97143=58.58327^3+21,010.21668
58.28379^3+61^2+(2.71621-1)*58.28379^2+(43-1)*18^2
=221,149.01061=58.28379^3+23,158.96568
57.96551^3+61^2+(3.03450-1)*57.96551^2+(42-1)*19^2
=220,122.05457=57.96551^3+25,357.92071
57.62812^3+61^2+(3.37188-1)*57.62812^2+(41-1)*20^2
=218,981.01288=57.62812^3+27,598.01399
57.27128^3+61^2+(3.72872-1)*57.27128^2+(40-1)*21^2
=217,719.97078=57.27128^3+29,870.20028
56.89464^3+61^2+(4.10536-1)*56.89464^2+(39-1)*22^2
=216,333.00364=56.89464^3+32,165.05050
【】【】【】【】【】
61^3=11^3+(60^3+9650)
61^3≈12^3+(59.80803^3+11,319.67678)
61^3≈13^3+(59.59866^3+13,089.55979)
61^3≈14^3+(59.37171^3+14,951.72222)
61^3≈15^3+(59.12698^3+16,898.07771)
61^3≈16^3+(58.86425^3+18,920.37366)
61^3≈17^3+(58.58327^3+21,010.21668)
61^3≈18^3+(58.28379^3+23,158.96568)
61^3≈19^3+(57.96551^3+25,357.92071)
61^3≈20^3+(57.62812^3+27,598.01399)
61^3≈21^3+(57.27128^3+29,870.20028)
61^3≈22^3+(56.89464^3+32,165.05050)
【】【】【】【】【】
61^3=(11^3+9650)+60^3
61^3≈(12^3+11,319.67678)+59.80803^3
61^3≈(13^3+13,089.55979)+59.59866^3
61^3≈(14^3+14,951.72222)+59.37171^3
61^3≈(15^3+16,898.07771)+59.12698^3
61^3≈(16^3+18,920.37366)+58.86425^3
61^3≈(17^3+21,010.21668)+58.58327^3
61^3≈(18^3+23,158.96568)+58.28379^3
61^3≈(19^3+25,357.92071)+57.96551^3
61^3≈(20^3+27,598.01399)+57.62812^3
61^3≈(21^3+29,870.20028)+57.27128^3
61^3≈(22^3+32,165.05050)+56.89464^3
【】【】【】【】【】
61^3=11^3+(60^3+9650)
61^3=12^3+(60^3+9253)
61^3=13^3+(60^3+8784)
61^3=14^3+(60^3+8237)
61^3=15^3+(60^3+7606)
61^3=16^3+(60^3+6885)
61^3=17^3+(60^3+6068)
61^3=18^3+(60^3+5149)
61^3=19^3+(60^3+4122)
61^3=20^3+(60^3+2981)
61^3=21^3+(60^3+1720)
61^3=22^3+(60^3+333)
【】【】【】【】【】
61^3=(11^3+9650)+60^3
61^3=(12^3+9253)+60^3
61^3=(13^3+8784)+60^3
61^3=(14^3+8237)+60^3
61^3=(15^3+7606)+60^3
61^3=(16^3+6885)+60^3
61^3=(17^3+6068)+60^3
61^3=(18^3+5149)+60^3
61^3=(19^3+4122)+60^3
61^3=(20^3+2981)+60^3
61^3=(21^3+1720)+60^3
61^3=(22^3+333)+60^3

(四)总结分析
为什么当n=2时z^2=x^2+y^2有正整数解，而当n>2时没有正整数解呢？
因为当n=2时;
根据费尔马大定理通项公式：
z^n-x^n=(y_n-1)^n+[z^(n-1)]+[(k_x)-1](x_n-1)^n-1+[(k_y)-1](y_n-1)^n-1
有y=k,x=z-k,z^2-x^2=k^2+z+(k_x)-1]*(x_1)+(k_y)-1]*(y_1),此时对于所有的勾股数,(y_2)是正整数都成立,事实也是如此.
当n>2时这是不可能的.因为(y_n-1)^n+[z^(n-1)]+[(k_x)-1](x_n-1)^n-1+[(k_y)-1](y_n-1)^n-1永远不可能成为a的n次方,因为x实在太小了.
因为当n=2时1^2+[(k_y)-1](y_1)^1=y^2，x=z-1是极至，当n>2时x必须大于z-1,这时x已经接近z了，所以x^n=(z-1)^n+m,必然带有余数.
对于一般的来说(x_1)<(x_2)<(x_3)<...<(x_n);(y_1)<(y_2)<(y_3)<...<(y_n).若x或y其中之一是正整数不变，那么其中之一必然有上式之一种.
证毕.

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附记：
当n=2时
z-x=k=y
z^2-x^2=k^2+z+(k-1)x+(x-1)k=k^2*m^2.则z/k=c,x/k=b,m/k=a.
c^2=b^2+a^2.




若z,x不变
z^n=k^n+(x^n+m)
则当m=0时，z^n=k^n+x^n.

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费尔马大定理通项公式：
z^n-x^n=(y_n-1)^n+[z^(n-1)]+[(k_x)-1](x_n-1)^(n-1)+[(k_y)-1](y_n-1)^(n-1)




5^2-4^2=1^2+5+3=1+8=3^2
13^2-12^2=1^2+13+11=5^2
25^2-24^2=1^2+25+23=7^2
61^2-60^2=1^2+61+59=11^2
85^2-84^2=1^2+85+83=13^2
145^2-144^2=1^2+145+143=17^2
181^2-180^2=1^2+181+179=19^2
265^2-264^2=1^2+265+263=23^2
421^2-420^2=1^2+421+419=29^2
481^2-480^2=1^2+481+479=31^2




10^2-8^2=2^2+10+8+14=6^2
26^2-24^2=2^2+26+24+46=10^2
50^2-48^2=2^2+50+48+94=14^2
122^2-120^2=2^2+122+120+238=22^2
170^2-168^2=2^2+170+168+334=26^2
290^2-288^2=2^2+290+288+574=34^2
362^2-360^2=2^2+362+360+718=38^2
530^2-528^2=2^2+530+528+1054=46^2
842^2-840^2=2^2+842+840+1678=58^2
962^2-960^2=2^2+962+960+1918=62^2

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15^2-12^2=3^2+15+24+33=9^2
39^2-36^2=3^2+39+72+105=15^2
75^2-72^2=3^2+75+144+213=21^2
183^2-180^2=3^2+183+360+537=33^2
255^2-252^2=3^2+255+504+753=39^2
435^2-432^2=3^2+435+864+1293=51^2
543^2-541^2=3^2+543+1082+1620=57^2
795^2-792^2=3^2+795+1584+2373=69^2
1263^2-1260^2=3^2+1263+2520+3777=87^2
1443^2-1440^2=3^2+1443+2880+4317=93^2

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20^2-16^2=4^2+20+48+60=12^2
52^2-48^2=4^2+52+144+188=20^2
100^2-96^2=4^2+100+288+380=28^2
244^2-240^2=4^2+244+720+956=44^2
340^2-336^2=4^2+340+1008+1340=52^2
580^2-576^2=4^2+580+1728+2300=68^2
724^2-720^2=4^2+724+2160+2876=76^2
1060^2-1056^2=4^2+1060+3168+4220=92^2
1684^2-1680^2=4^2+1684+5040+6716=116^2
1924^2-1920^2=4^2+1924+5760+7676=124^2

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25^2-20^2=5^2+25+80+95=15^2
65^2-60^2=5^2+65+240+295=25^2
125^2-120^2=5^2+125+480+595=35^2
305^2-300^2=5^2+305+1200+1495=55^2
425^2-420^2=5^2+425+1680+2095=65^2
725^2-720^2=5^2+725+2880+3595=85^2
905^2-900^2=5^2+905+3600+4495=95^2
1325^2-1320^2=5^2+1325+5280+6595=115^2
2105^2-2100^2=5^2+2105+8400+10495=145^2
2405^2-2400^2=5^2+2405+9600+11995=155^2

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30^2-24^2=6^2+30+120+138=18^2
78^2-72^2=6^2+78+360+426=30^2
150^2-144^2=6^2+150+720+858=42^2
366^2-360^2=6^2+366+1800+2154=66^2
510^2-504^2=6^2+510+2520+3018=78^2
870^2-864^2=6^2+870+4320+5178=102^2
1086^2-1080^2=6^2+1086+5400+6474=114^2
1590^2-1584^2=6^2+1590+7920+9498=138^2
2526^2-2520^2=6^2+2526+12600+15114=174^2
2886^2-2880^2=6^2+2886+14400+17274=186^2

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35^2-28^2=7^2+35+168+189=21^2
91^2-84^2=7^2+91+504+581=35^2
175^2-168^2=7^2+175+1008+1169=49^2
427^2-420^2=7^2+427+2520+2933=77^2
595^2-588^2=7^2+595+3528+4109=91^2
1015^2-1008^2=7^2+1015+6048+7049=119^2
1267^2-1260^2=7^2+1267+7560+8813=133^2
1855^2-1848^2=7^2+1855+11088+12929=161^2
2947^2-2940^2=7^2+2947+17640+20573=203^2
3367^2-3360^2=7^2+3367+20160+23513=217^2

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40^2-32^2=8^2+40+224+248=24^2
104^2-96^2=8^2+104+672+760=40^2
200^2-192^2=8^2+200+1344+1528=56^2
488^2-480^2=8^2+488+3360+3832=88^2
680^2-672^2=8^2+680+4704+5368=104^2
1160^2-1152^2=8^2+1160+8064+9208=136^2
1448^2-1440^2=8^2+1448+10080+11512=152^2
2120^2-2112^2=8^2+2120+14784+16888=184^2
3368^2-3360^2=8^2+3368+23520+26872=232^2
3848^2-3840^2=8^2+3848+26880+30712=248^2

小草

45^2-36^2=9^2+45+288+315=27^2
117^2-108^2=9^2+117+864+963=45^2
225^2-216^2=9^2+225+1728+1935=63^2
549^2-540^2=9^2+549+4320+4851=99^2
765^2-756^2=9^2+765+6048+6795=117^2
1305^2-1296^2=9^2+1305+10368+11655=153^2
1629^2-1620^2=9^2+1629+12960+14571=171^2
2385^2-2376^2=9^2+2385+19008+21375=207^2
3789^2-3780^2=9^2+3789+30240+34011=261^2
4329^2-4320^2=9^2+4329+34560+38871=279^2