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费尔马大定理的互补函数幂函数定理解法
文/施承忠
步骤 1：引理 —— 互补函数的幂函数定理
引理表述：
设存在一对函数u1(t)和u2(t)（t>0），满足以下条件：
互补性：对任意正整数n，有t=u1(t)+u2(t)；
幂函数分解性：对任意正整数n，有t=u^n=[u1(t)]^n+[u2(t)]^n。
则当n→∞时，u1(t)→u−Δ1，u2(t)→u−Δ2，其中Δ1,Δ2是关于n的无穷小量（即Δ1,Δ2→0当n→∞）。
步骤 2：命题分析
(1). 费尔马大定理的互补性构建
费尔马大定理可表述为：当n≥3时，方程z^n=x^n+y^n无正整数解。
令z(t)=t，则由互补性设x(t)=t−k，y(t)=k（k为正整数，1≤k<t.
按照互补函数的幂函数定理，n→∞,x→z,y→z,只是x和y趋向z的速率
不同.
(2).费尔马大定理方程的正整数性分析
原引理对u1和u2是不要求满足正整数的.但费尔马大定理方程中要求
x,y都是正整数.所以我们可以先令z,x为正整数，再求出z^n和x^n的差，再求出y^n，如果y是正整数，费尔马大定理不成立；如果y不是正整数则费尔马大定理成立.
(3).应用方法和证明
因为如果p^n=x^n+y^n有解那么mp^n=mx^n+my^n就有解.所以我们只要求得p^n=x^n+y^n无解就可以了.
当n=1时，令u=z=p=5,u1=x=p-1=4,u2=y=1.因为此时x=p-1已经是最大值了，只要将y增值就可以了.
当n=2时，5^2=5*4+5*1=4^2+(5+4)=4^2+3^2.
所以对于任意的p,只要满足条件p+(p-1)=y^2,都有正整数解就可以了.
当n=3时，5^3=5(4^2)+5(3^2)=4^3+[5(3^2)+4^2]=4^3+61=4^3+3√61,
3√61不是正整数.方程无解.
对于任意的p,3√[p(a^2)+(p-1)^2]都无正整数解，因为它们的幂次不一致.
当n>3时,对于任意的p,n√{[p[a^(n-1)]+[(p-1)^(n-1)}因为它们的幂次不一致.都无正整数解.
所以大定理方程完全符合互补函数的幂函数定理，而它的正整数性质完全符合费尔马猜想.
我们先确定z是正整数，然后确定x=z-k(k=1,2,3,...,z_1)是正整数，只要将确定范围内的k依次做一遍，就能得到全部的y值.
例如p=13:
n=2
z=p=13
x=z-(z-1)=12,z^2-x^2=169-144=25,√25=5【】正整数.
x=z-(z-2)=11,z^2-x^2=169-121=48,√48=6.92820【】非正整数.
x=z-(z-3)=10,z^2-x^2=169-100=69,√69=8.30662【】非正整数.
x=z-(z-4)=9,z^2-x^2=169-81=88,√88=9.38083【】非正整数.
x=z-(z-5)=8,z^2-x^2=169-64=105,√105=10.2470【】非正整数.
x=z-(z-6)=7,z^2-x^2=169-49=120,√120=10.95445【】非正整数.
x=z-(z-7)=6,z^2-x^2=169-36=133,√133=11.53256【】非正整数.
x=z-(z-8)=5,z^2-x^2=169-25=144,√144=12【】正整数.
大于12没有意义.
n=3
x=z-(z-1)=12,z^3-x^3=2197-1728=469,3√469=7.76946【】非正整数.
x=z-(z-2)=11,z^3-x^3=2197-1331=866,3√866=9.53175【】非正整数.
x=z-(z-3)=10,z^3-x^3=2197-1000=1197,3√1197=10.61772【】非正整数.
x=z-(z-4)=9,z^3-x^3=2197-729=1468,3√1468=11.36515【】非正整数.
x=z-(z-5)=8,z^3-x^3=2197-512=1685,3√1685=11.899625【】非正整数.
x=z-(z-6)=7,z^3-x^3=2197-343=1854,3√1854=12.28485【】非正整数.
x=z-(z-7)=6,z^3-x^3=2197-216=1981,3√1981=12.55919【】非正整数.
大于12没有意义.
所以对于素数p,当n≥3时没有正整数解，就连当n=2时k=1有正整数解，现在也没有了.所以对于任意的正整数z^n=x^n+y^n,n≥3时都没有正整数解.
步骤 3：方程求解
分情况讨论
当n=1时：
方程为 z=x+y，显然对任意正整数z，取 x=z−k，y=k均满足正整数解（如 z=5,x=3,y=2）。
当n=2时：
方程为z^2=(z−k)^ 2+k^2，展开得：z^2=z^2−2zk+k^2+k^2⟹2zk=2k^2⟹z=k
但z>k（因x=z−k>0），矛盾。例外情况：当k与z−k构成勾股数时（如z=5,k=3，5^2=4^2+3^2），此时解存在。这表明n=2时存在特殊解，与n≥3时的情况本质不同。
当n≥3时：
假设存在正整数解z,x=z−k,y=k，则有:z^n=(z−k)^n+k^n
展开(z−k)^n得 z−k)^n=z^n−(C n)^1*z^(n-1)*k+
(C n)^2*z^(n-2)*k^2-...+(-1)^n*k^n
代入方程得：z^n=z^n−(C n)^1*z^(n-1)*k+...-2k^n
化简得：(C n)^1*z^(n-1)*k-(C n)^2*z^(n-2)*k^2-...=2k^n
左边每项均含z^(n−1)*k及更高次项，右边为2k^n。当 n≥3时，左边增长速率远高于右边（因z>k），故等式无法成立。
3. 基于互补函数定理的极限分析
由引理，当n→∞时，设u1=z−k，u2=k，u=z，则：z^n=(z−k)^n+k^n
⟹1=(1− k/z)^n+( k/z)^n
当n→∞时，若0<k/z <1，则(1− k/z)^n →0,( k/z)^n→0，矛盾。故仅当 k/z=0或1时成立，但这与z,k为正整数矛盾。因此，n≥3时无解。
步骤 4：实例验证
（n≥3时无解的典型案例）
z【】n【】假设k【】计算(z−k)^n+k^n【】与z^n比较
5【】 3【】 3 【】2^3+3^3=8+27=35【】5^3=125,35≠125
6【】 3【】 5 【】1^3+5^3=1+125=126【】6^3=216,126 ≠216
10【】3【】8 【】2^3+8^3=8+512=520【】10^3=1000,520≠1000
13【】3【】12 【】1^3+12^3=1+1728=1729【】13^3=2197,1729≠2197
15【】4【】12 【】3^4+12^4=81+20736=20817【】15^4=50625,
20817≠50625
结论
(1)当n=1 时，方程z=x+y恒有正整数解；
(2)当n=2时，仅存在特殊勾股数解（如5^2=4^2+3^2），但并非对所有
k成立；
(3)当 n≥3时，基于互补函数的幂函数定理及极限分析，结合实例验证，方程z^n=x^n+y^n无正整数解，即费尔马大定理成立。
证毕.
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发表于 2025-7-9 19:02
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