如果X是紧度量空间，那么连续映射f映入Y空间的f(X)也是紧的，证明过程的一个问题！

wufaxian

出自鲁丁数学分析原理 P77
4.14 定理 设 \( f \) 是把紧度量空间 \( X \) 映入度量空间 \( Y \) 内的连续映射，那么 \( f(X) \) 是紧的。

证 设 \(\{V_\alpha\}\) 是 \(f(X)\) 的一个开覆盖。由于 \(f\) 连续，定理 4.8 说明每个集 \(f^{-1}(V_\alpha)\) 是开的。由于 \(X\) 是紧的，那么存在着有限个指标 \(a_1,\, \ldots,\, a_m\)，使得  
\[
X \subset f^{-1}(V_{a_1}) \cup \cdots \cup f^{-1}(V_{a_m}) \tag{12}
\]

由于对每个 \(E \subset Y\) 来说 \(f(f^{-1}(E)) \subset E\)，那么，(12) 就意味着
\[
f(X) \subset V_{a_1} \cup \cdots \cup V_{a_m} \tag{13}
\]

这样就完成了证明。





请问上述证明过程中“由于对每个 \(E \subset Y\) 来说 \(f(f^{-1}(E)) \subset E\) ”这句话可以省略掉么？直接对公式(12)两段直接进行f映射。可以直接得到公式(13)么？也就是说我不强调\(f(f^{-1}(V_{a_1})) \subset V_{a_1}\) 推导就不成立么？