\(\Large\color{red}{\textbf{定理:}}\quad\color{navy}{\textbf{自然数皆有限数}}\)

elim

【定理】自然数皆有限数.
【证明】记\(\,\alpha\,\)为最小无穷序数, 则它之前的都是
\(\qquad\)有限序数. 因 \(\alpha\)不是有限序数的后继, 故其
\(\qquad\)不是任何序数的后继即\(\alpha\)不是自然数, 但序
\(\qquad\)数链\(\,\mathbb{N}\,\)不含非自然数, 故\(\alpha\,\)后面无自然数.
\(\qquad\)即\(\mathbb{N}\)是\(\alpha\)的前段. 可见自然数皆有限数．\(\square\)

【推论1】\(\alpha=\omega\)(1st极限序数)
【推论2】\(\lim n\) 不是自然数.

自然数完全由皮亚诺公理确定. 而极限, 无穷(及有穷有限)这些概念却不能由皮亚诺公理导出. 但从数学基础的视角看, 康托的序数概念逻辑上先于自然数概念(\(\mathbb{N}\)是满足皮亚诺公理的序数全体). 小于最小无穷序数\(\alpha\)的序数是有限序数. 从这些认识得出 \(\mathbb{N}\)是\(\alpha\)的前段 的猜想. 而本定理就是被论证后的这一猜想的直接推论.

春风晚霞

你证明过\(\mathbb{N}\)中的数都小于α吗？你凭什么说\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\{m\in\mathbb{N}:m>n=\phi\)？最小无穷数的前段是有限数不假，但最小无穷数α的后段也是有限数吗？你还是先把自然数的截段理论弄懂了再来刷存在感骗人好吗？

春风晚霞

你证明过\(\mathbb{N}\)中的数都小于α吗？你凭什么说\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\{m\in\mathbb{N}:m>n=\phi\)？最小无穷数的前段是有限数不假，但最小无穷数α的后段也是有限数吗？你还是先把自然数的截段理论弄懂了再来刷存在感骗人好吗？

春风晚霞

你主帖所陈述的定理自然数的性质定理，在集合论，那只是自然数的一个截段(参见方嘉琳《集合论》P82页定义3.你证明中说【记α为最小无穷序数,则它之前的都是有限序数.】这吕能证明有限自然数是自然数，但无法证明自然数都是有限自然数！试问【α不是有限序数的后继】的依据悬什么？α是最小无穷数，那么α-1<α，所以α-1亦是有限自然数，那么概据后继的定义，α就是有限数(α-1)的后继.根据皮亚诺公理第二条α+1，α+2，…都是自然数，所以根据自熟数的截段就说\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\{m\in\mathbb{N}:m>n=\phi\)就是反康托尔、反皮亚诺自然数理论的铁证！需提醒elim注意的是最小无穷数是孤立序数（有直前的序数），而最小超穷数ω是极限序数(没有直前），两者差别甚大，能混为一谈吗！

elim

滚驴不能证的东西多的去了. 所以只有一滚再滚
混日子. 若有天穷大自然数, 那么\(\,\alpha\,\)就是自然数
但\(\,\alpha\,\)不是后继序数而非零自然数都是后继序数,
所以\(\,\alpha\,\)不能是自然数, 只能大于每个自然数．
这点在主贴证明中已作交代. 白痴不解为常态
.

春风晚霞

elim 发表于 2025-7-25 13:31
\(\mathbb{N}\)是最小无穷大序数\(\alpha\)的前段. 这不是个人观点
而是数学事实.    \(\displaystyle\li ...

你主帖所陈述的定理自然数的性质定理，在集合论，那只是自然数的一个截段(参见方嘉琳《集合论》P82页定义3.你证明中说【记α为最小无穷序数,则它之前的都是有限序数.】这吕能证明有限自然数是自然数，但无法证明自然数都是有限自然数！试问【α不是有限序数的后继】的依据悬什么？α是最小无穷数，那么α-1<α，所以α-1亦是有限自然数，那么概据后继的定义，α就是有限数(α-1)的后继.根据皮亚诺公理第二条α+1，α+2，…都是自然数，所以根据自熟数的截段就说\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\{m\in\mathbb{N}:m>n=\phi\)就是反康托尔、反皮亚诺自然数理论的铁证！需提醒elim注意的是最小无穷数是孤立序数（有直前的序数），而最小超穷数ω是极限序数(没有直前），两者差别甚大，能混为一谈吗！

APB先生

楼主的腚理实在可笑

      无限的自然数集 \[N=\left\{ 0{,}\ 1{,}\ 2{,}\ \cdots{,}\ 1\dot{0}^{1\dot{0}^{1\dot{0}}}{,}\ \cdots\right\}\ \ \ \ \ 1\dot{0}=100\cdots\]显然是存在无限数的，例如\[\left\{ 1\dot{0}{,}\ \ 1\dot{0}^{1\dot{0}}{,}\ \ 1\dot{0}^{1\dot{0}^{1\dot{0}}}{,}\ \ \cdots\right\}\subset N\]           
而且每一个非零的有限自然数的封闭函数中都存在无限数：\[f\left( 1\right)=1\oplus1\oplus\cdots=\cdots11.0=\dot{1}.0\in N\ \ \ \]\[f\left( 2\right)=2\oplus2\oplus\cdots=\cdots22.0=\dot{2}.0\in N\]\[\cdots\cdots\]\[f\left( n\right)=n\oplus n\oplus\cdots=\dot{n}=\cdots nn.0\in N\]
区间（0,1）的每一个无限小数都至少对应二个无限数： \[f\left( 0{,}a_1a_2\cdots\right)=\begin{cases}
a_1a_2\cdots.0\\
\cdots a_2a_1.0
\end{cases}\]

春风晚霞

最小无穷大序数α把自然数列分为两段，小于α的部分是有限数，而不小于α的部分叫无穷自然数。所以集合\(S=\{n\in\mathbb{N}:n≥α\}\)称所有无穷大自然数的集合。皮亚诺公理第三条指出自然数中只有0没有前趋，也就是说自然数集中任何非0数都有前趋，所以α-1是有限数。因此你所构造的e氏自然数中存在最大数α-1，这就说明e氏白壮数集与自然数中没有最大只有更大矛质。同时由皮亚诺公理笫二条，由于α是确定的自然，所以α+1也是确定的自然数，所以集合\(S=\{n\in\mathbb{N}:n≥a≠\phi\}\)！还有在自然数中只有0是极限序数(没有直前，但有后继)(皮亚诺公理第三条），并且每个确定的自然数都有后继，其后继也是自然数。所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)！elim混世魔王，你恼怒也罢，咒骂也罢，自然数集是无限集，且\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)是你改变不了的。

春风晚霞

最小无穷大序数α把自然数列分为两段，小于α的部分是有限数，而不小于α的部分叫无穷自然数。所以集合\(S=\{n\in\mathbb{N}:n≥α\}\)称所有无穷大自然数的集合。皮亚诺公理第三条指出自然数中只有0没有前趋，也就是说自然数集中任何非0数都有前趋，所以α-1是有限数。因此你所构造的e氏自然数中存在最大数α-1，这就说明e氏白壮数集与自然数中没有最大只有更大矛质。同时由皮亚诺公理笫二条，由于α是确定的自然，所以α+1也是确定的自然数，所以集合\(S=\{n\in\mathbb{N}:n≥a≠\phi\}\)！还有在自然数中只有0是极限序数(没有直前，但有后继)(皮亚诺公理第三条），并且每个确定的自然数都有后继，其后继也是自然数。所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)！elim混世魔王，你恼怒也罢，咒骂也罢，自然数集是无限集，且\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)是你改变不了的。

春风晚霞

最小无穷大序数α把自然数列分为两段，小于α的部分是有限数，而不小于α的部分叫无穷自然数。所以集合\(S=\{n\in\mathbb{N}:n≥α\}\)称所有无穷大自然数的集合。皮亚诺公理第三条指出自然数中只有0没有前趋，也就是说自然数集中任何非0数都有前趋，所以α-1是有限数。因此你所构造的e氏自然数中存在最大数α-1，这就说明e氏白壮数集与自然数中没有最大只有更大矛质。同时由皮亚诺公理笫二条，由于α是确定的自然，所以α+1也是确定的自然数，所以集合\(S=\{n\in\mathbb{N}:n≥a≠\phi\}\)！还有在自然数中只有0是极限序数(没有直前，但有后继)(皮亚诺公理第三条），并且每个确定的自然数都有后继，其后继也是自然数。所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)！elim混世魔王，你恼怒也罢，咒骂也罢，自然数集是无限集，且\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)是你改变不了的。