经典奥数问题 —— 折返跑中的相遇问题

luyuanhong

经典奥数问题 —— 折返跑中的相遇问题

原创  小猿科普  小猿科普  2025 年 07 月 30 日 07:15  北京

如图，AB 是一条长 180 米的跑道，C、D 是三等分点。甲在 AC 段往返跑步，每分钟跑 180 米；乙在 BD 段往返跑步，每分钟跑 120 米。甲从 A 出发的同时乙从 B 出发，一小时内两人共相遇多少次？



问题来源 ：

2024 年希望杯全国数学邀请赛（六年级）

本题难度：

较难（★★★）

问题解析：

本题是一道复杂行程的相遇问题，对于这类问题可用柳卡图来解决。

关于柳卡图的使用可以参看我之前的文章：柳卡图的应用——跑步问题。

对于本题，由于 C、D 两点将 AB 三等分，所以可画出如下图所示的柳卡图：



如图所示，横向为时间轴，表示甲乙二人往返跑步的时间；纵向为他们跑步的距离，AD、DC、CB 之间都是 180÷3=60 米。甲在 AC 之间往返跑，乙在 BD 之间往返跑。

因为甲每分钟跑 180 米，所以甲的跑步轨迹如下图所示：



因为甲每分钟跑 180 米，而甲又是在 AC 之间往返跑。所以甲第 1 分钟跑到D处（A-D-C-D），共跑了 180 米；同理甲第 2 分钟可跑到 C 处；第 3 分钟跑到 D 处；第 4 分钟又跑回到A处。然后就再开启下一个往返跑周期。

又因为乙每分钟跑 120 米，所以乙的跑步轨迹如下图所示：



乙的跑步轨迹比较简单，第 1 分钟跑到D处，第 2 分钟跑到B处，第 3 分钟跑到D处，第 4 分钟又回到 B 处。

将甲、乙的跑步轨迹结合到一起，就是第一张图所示的那样。不难发现，甲乙二人的往返跑以 4 分钟为一个周期，每隔 4 分钟，甲乙二人又都重回到 A、B 两地开启下一个跑步周期。而在 4 分钟的跑步周期内，甲乙二人共相遇 4 次，如图中的红点所示。



所以在 1 小时内，甲乙共相遇 4×15=60 次。

小猿科普

wilsony

有点难。