黎曼手稿的价值

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黎曼手稿的价值

原创  蔡驰南  蔡爸谈数学  2025 年 08 月 06 日 11:33  浙江

黎曼（Bernhard Riemann）是最富有想象力的数学天才，他一生仅发表了 10 篇简短的论文，就将数学与物理的多个领域，向前推进了几十年，而他留下的黎曼猜想，更是成为了最重要的数学猜想之一，至今依然困扰着数学家们。



只可惜，黎曼因肺结核英年早逝（去世时还不到 40 岁），更令人心痛的是，他的管家竟然将他生前的大部分手稿一把火烧了。好在黎曼的妻子埃莉泽·科赫（Elise Koch）救下了一些，其中大部分都交给了黎曼生前的好友戴德金。

虽然几年后，埃利泽考虑到这些稿纸上有一些私人信息，要回了一些，但好在，剩下的，戴德金最后交给了哥廷根大学。如今，这些手稿成为了这所大学的镇校之宝。


曾经的世界数学中心德国哥廷根大学（Georg-August-Universität Göttingen）

随着人们深入探索黎曼猜想，越发发现这个问题的复杂深邃。

别说是证明或者证伪这个宏大的猜想（黎曼 ζ 函数的非平凡零点的实部都是 1/2 ，关于黎曼猜想的内容可参见往期文章黎曼留给世界的谜题），就连计算一个非平凡零点都极其复杂。

在黎曼去世（1866 年）后六十年里，数学家们只找到了 138 个非平凡零点（1925 年）。


黎曼预言所有黎曼 ζ 函数的非平凡零点都在实部等于 1/2 这条临界线上

一开始人们认为黎曼是因为非凡的数学直觉而提出的猜想，他本人并没有做过多少计算。比如，克莱因就说过：黎曼的工作主要是依靠他那些厉害的“大略思想”与“直觉”。



然而，到了 1932 年，德国数学家西格尔（Carl Ludwig Siegel）发现，黎曼遗留的手稿上遍布密密麻麻的公式和数字。黎曼因为生活拮据，使用稿纸非常节省。在紧挨着的，相互交错的算式中，西格尔发现，黎曼曾对非平凡零点做过大量的计算，而且他的计算方法远远高过在他去世 66 年后的其他数学家们。

从黎曼的手稿中，西格尔得到了一种新的计算非平凡零点的方法：黎曼-西格尔公式。仅这一发现，就让西格尔闻名于世。


卡尔·西格尔（Carl Ludwig Siegel）

这一方法大大提高了计算零点的效率，数学家们一下子从原来只找到 138 个零点，突破到了 1000 个零点。后来随着计算机技术的发展，计算能力得到了极大的提升，零点数量推进到 25000 个，再到 350 万个，8100 万个，3 亿个，直至今天人们已经计算出了 10 万亿个零点，而这些零点无一例外，全都位于临界线上。

原来被希尔伯特和克莱因当成思想家的黎曼，是一位真正的计算大师。他就是在这些计算中构建了思路，在自己搜集的证据中找到了规律。只不过这位努力的天才实在是太谨慎了，他发表的确定结论只不过是研究内容的冰山一角。



黎曼手稿的价值还远远不止这些。

最近，数学家和物理学家发现，黎曼 ζ 函数零点的间距与重原子能级间距出奇地相似，黎曼猜想可能与量子力学，甚至与流体力学有关。

物理学家在探索微观世界的过程中意识到，原子的行为模式并不是宏观中行星系统的缩小版，而是更像一面鼓。击鼓时产生的振动，来自频率各异的基本波形，鼓声是这些频率的组合。

而原子的世界行为就是一面量子鼓，与宏观的鼓不同的是，它涉及虚数。在量子力学中，观察行为会使二维的虚数世界坍缩成一维的普通数，这是量子世界在“真实”世界中的投影。

类似地，数学家猜测：黎曼零点之所以会在一条直线上，原因在于，他们其实是某个数学鼓的频率。

这种对素数出现频率的研究，其背后的方法来源于流体力学。

人们在黎曼的手稿中发现，黎曼对 ζ 函数零点的研究，竟然与他当时解决流体力学经典问题的内容，紧挨在在一起，也许这两者背后还有更深层次的联系。

黎曼的手稿，再一次体现了这位数学家思想的超越性。



黎曼曾经声称，他能够证明大部分的零点都在临界线上，但至今数学家们只能证明 41.7% 的零点在这条临界线上（2020 年美国伊利诺伊大学和英国兰卡斯特大学的数学家将这一估计值提高到了 5/12 ），连 50% 都未曾达到。

黎曼在取得素数和流体力学的相关发现后的第二年，在一个小黑本上记录了新的想法。这是他提出“黎曼猜想”后几个月，在巴黎时候记录的本子，上面很可能有关于黎曼 ζ 函数的思考内容。可惜几经周折，这个本子已经下落不明。

有人说它曾被德国数学及数学史家哈根获得，但哈根死于二战后的混乱年代，而他的遗物也未曾被找到，黎曼小黑本的下落从此成了一个迷。


黎曼的手稿

还有多少秘密藏在黎曼的手稿中，我们不得而知。但毫无疑问，对于这位史上最富有想象力的数学家，其手稿的价值之高，无论怎样评价都不为过。

蔡爸谈数学