已知 x,y 为满足 x^2+y^2≤1 的实数，求 ｜7x^2-48xy-7y^2｜的最大值

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luyuanhong

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Ysu2008

令\(7x^2-48xy-7y^2=F\)  ……(1)

如图，该方程是一条双曲线，\(F\)太小两曲线相交，太大又相离，恰使得双曲线与单位圆相切时\(F\)取得满足题意的最大值。

先将坐标系旋转\(\theta\)角，将双曲线方程化为标准形式。
根据公式\(\cot2\theta=\frac{A-C}{B}\)
\(\therefore\cot2\theta=\frac{7-\left( -7\right)}{-48}\Rightarrow\theta=\frac{1}{2}\operatorname{arccot}\frac{-7}{24}\)
\(\Rightarrow\begin{cases}
\sin\theta=\sin\frac{1}{2}\operatorname{arccot}\frac{-7}{24}=-\frac{3}{5}\\
\cos\theta=\cos\frac{1}{2}\operatorname{arccot}\frac{-7}{24}=\frac{4}{5}
\end{cases}\)

从而得到转轴公式
\(\begin{cases}
x=\frac{4}{5}x'+\frac{3}{5}y'\\
y=-\frac{3}{5}x'+\frac{4}{5}y'
\end{cases}\)

代入 (1) 式消去 \(xy\) 项，得双曲线标准形式
\(25x^2-25y^2=F\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{\left( \frac{\sqrt{F}}{5}\right)^2}-\frac{y^2}{\left( \frac{\sqrt{F}}{5}\right)^2}=1\)

双曲线与单位圆相切，当且仅当双曲线半轴长等于圆半径，即得\(F\)最大值
\(\frac{\sqrt{F}}{5}=1\Rightarrow F=25\)

luyuanhong

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波斯猫猫

题：已知 x,y 为满足 x^2+y^2≤1 的实数，求 ｜7x^2-48xy-7y^2｜的最大值.

思路：令t=7x^2-48xy-7y^2，即t=(7x+y)(x-7y)，或2t=(8x-6y)^2-50(x^2+y^2)，

故25(x^2+y^2)=(4x-3y)^2-t≤25   (x^2+y^2≤1)，或t≥(4x-3y)^2-25.

显然，当且仅当x=±3/5，y=±4/5时，有t≥-25，即∣t∣≤25.

注：注意数字特征，先不带枷锁更自由.

uk702

波斯猫猫 发表于 2025-8-30 17:31
题：已知 x,y 为满足 x^2+y^2≤1 的实数，求 ｜7x^2-48xy-7y^2｜的最大值.

思路：令t=7x^2-48xy-7y^2， ...

配方法确实高！但这一步似乎不存在上下文显而易见的联系：
令t=7x^2-48xy-7y^2，即t=(7x+y)(x-7y)，或2t=(8x-6y)^2-50(x^2+y^2)

luyuanhong

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波斯猫猫

题：已知 x,y 为满足 x^2+y^2≤1 的实数，求 ｜7x^2-48xy-7y^2｜的最大值.

思路：｜7x^2-48xy-7y^2｜=｜(7x+y)(x-7y)｜=｜7x+y｜.｜x-7y｜

≤(｜7x+y｜^2+｜x-7y｜^2)/2=50(x^2+y^2)/2≤25，

当且仅当(4x-3y)(3x+4y)=0时取等号.

luyuanhong

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