线性方程组解与线性微分方程解的结构（几何画图直观易懂）

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线性方程组解与线性微分方程解的结构（几何画图直观易懂）

原创  秦迷天下  秦迷天下  2025 年 08 月 09 日 00:00  湖南

这里依然沿着前面的微分方程，来介绍它的解的结构，因为解方程嘛，我们最关心的就是它的解，尤其是求解微分方程的解相对要麻烦点，所以我们看下有什么规律，是的，其实跟线性方程组解是很类似的，所以我们通过了解线性方程组解的结构，来熟悉微分方程解的结构，这里通过简单例子，画出它的几何图形，就更容易直观理解它。

线性方程组解的结构

Ax=b ，左边我们可以写成矩阵函数 y=Ax ，属于线性函数的一种，这样的线性方程组，可以通过矩阵乘法进行改写，例子如下：



齐次线性方程组的所有解，是它们的线性组合。



在几何上，是左侧红色平面表示这个齐次线性方程组的所有解。

接着看非齐次线性方程组的解：



可以看到，非齐次的所有解就是 非齐次的特解+齐次的所有解，所以在几何上，我们可以看到是平行于红色平面的黄色平面（过 (3,0,0) 点）。

线性微分方程解的结构



可以看出，n 阶齐次线性微分方程的通解，跟上面的齐次线性方程组的解非常类似，也可以进行类似理解，这样会变得容易很多。

比如那个二阶齐次线性微分方程的通解，就是两个线性无关解的线性组合。

而对于二阶非齐次线性微分方程的通解，我们就只需要求出非齐次的特解即可：



其中特解，我们可以这样计算得到：



也就是将解表示为一元二次多项式的标准形式（ax^2+bx+c），然后求它的二阶导为 2a ，y'' 和 y 代入到原微分方程中，比较系数，就可以得到 a,b,c 的值，这样就得到了特解为 x^2-2 。

可以看到微积分跟线性代数是有机结合的，所以想要掌握这两门的朋友们，强烈推荐马同学系列，七年磨一剑，倾心打造，内容配有大量图片，所以阅读非常友好，通俗易懂！

秦迷天下