三种可降阶的高阶微分方程，你都知道吗？

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三种可降阶的高阶微分方程，你都知道吗？

原创  秦迷天下  秦迷天下  2025 年 08 月 08 日 00:00  湖南

前面介绍的是一阶线性微分方程，当阶数 ≥2 的微分方程，就是高阶微分方程，其中一些高阶微分方程是可以降阶的，一起来看下有哪些吧。

这里介绍三种可以降阶的高阶微分方程的形态：



第一种形态

这个是最简单的，右边是关于 x 的函数，左边有几阶，那么我们只需要求几次不定积分来处理就可以了。比如说 y'=cosx ，那么这个 y 很容易可以看出是： sinx + C ，也就是两边求不定积分即可，cosx 的原函数是 sinx 。

也就是说，我们知道导数和积分是互为逆运算，故，只需要两边加不定积分即可。

我们来看下面这样一个示例：



可以看到，这里是三阶微分方程，而且右边是关于 x 的函数，所以只需要求三次不定积分，就可以求解出它的通解。

第二种形态

左边是二阶，右边是关于 x 和 y' 的函数，所以这里设置 y 的一阶导为 p 和 y 的二阶导为 p' 。





这样整理之后就得到前面介绍的可分离变量的微分方程：

一阶线性微分方程的齐次与非齐次的通解（常数变易法）。

第三种形态

右边是关于 y 和 y' 的函数，所以跟上面的关于 x 和 y' 的函数有一点区别，区别就是在于 y'' 的时候，我们需要将对 x 的求导，通过链式法则，转换为对 y 的求导，这样可以简化求解。





所以这里只需要关注右边是关于 x 还是关于 x 与 y' 或者 y 与 y' 的函数，从而使用上面对应的方法，即可求解出高阶微分方程的通解。

初学者想要掌握好微积分与线性代数，个人觉得直观易懂是最关键的，如果晦涩难懂只会让学习变得困难，甚至放弃学习。

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秦迷天下