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中欧小国却能登上数学之巅,匈牙利凭什么?

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发表于 2025-8-22 01:18 | 显示全部楼层 |阅读模式
中欧小国却能登上数学之巅,匈牙利凭什么?

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这篇文章从匈牙利的历史背景切入,生动地展现了这个中欧小国在 20 世纪历经战乱与政治变革的重重磨难,却依然使其数学传统得以延续并蓬勃发展,堪称奇迹。文章细致地勾勒出匈牙利众多杰出数学家的生平与成就,从非欧几何奠基者亚诺什·波尔约,到“匈牙利现代数学的奠基人”利波特·费耶尔,再到“数学无国界”的践行者保罗·埃尔德什等。他们有的在理论创新上开疆拓土,有的在教育传承上深耕细作,有的在国际交流中架起桥梁,共同铸就了匈牙利数学的辉煌。

文章还深入探讨了匈牙利数学崛起的根源,包括其独特的教育制度与文化心理因素。例如,1894 年创办的全世界最早的中学数学竞赛以及《KoMaL》期刊等,这些举措实现了系统性地选拔和培养数学人才,树立了问题驱动的思维模式,为数学发展奠定了坚实基础。

我向广大读者推荐本文,相信读者在阅读后,会对匈牙利数学乃至全球数学发展有更深刻的理解与思考。读完本文,我不禁想起了在组合数学课上学到的 Pólya 计数定理,这正是匈牙利数学家智慧的结晶之一,也让我对匈牙利数学的影响力有了更直观的感受。

作者  芮祥麟(Dr. Jui Shangling)博士,华为法国拉格朗日数学与计算中心主任  

当论及现代数学的强国版图,美国凭借顶尖学府与雄厚资金稳居核心,法国以分析学派与“菲尔兹奖摇篮”彰显传统,俄罗斯则在拓扑学与数学物理领域构筑严密体系。然而在这片由“超级大国”主导的疆域中,匈牙利——一个人口不足千万、面积不及浙江的中欧小国——却以惊人密度输出顶尖头脑,诞生了一大批在 20 世纪享誉世界的数学家,甚至可以说与美国、法国、俄罗斯一道站在了全球数学之巅。


匈牙利地处中欧内陆,曾是奥匈帝国的一部分。20 世纪历经战乱、社会主义统治与民主转型,政局更迭频繁,但数学传统却一脉相承。

这种高密度的人才涌现,并非偶然,而是源于匈牙利自青少年阶段就开始的系统性培养。1894 年,匈牙利创办了全世界最早的中学数学竞赛,系统地筛选和培养数学人才。从那时起,这个国家便将“发现问题、解决问题”作为数学文化的核心。一个多世纪后,这一传统仍在延续:在 1959 年至 2023 年的国际数学奥林匹克(IMO)奖牌榜上,匈牙利稳居全球第五,仅次于中国、俄罗斯、美国和韩国,领先于德国、日本等教育强国。

为何是匈牙利?为什么这个资源有限、国力平平的小国,能够在数学这门最抽象的科学上与大国比肩?不仅在图论、组合数学等领域一度领先全球,甚至还重塑了计算机科学的理论基础。这背后不仅是天赋的积聚,更是教育制度、文化心理与时代际遇共同催生的成果。要理解匈牙利数学的崛起,就必须从它的历史、人物、制度与精神气质中寻找答案。

NO.1  暗夜与曙光  孤星闪耀,奠定非欧几何

匈牙利数学引起世界注意,始于 19 世纪的亚诺什·波尔约(János Bolyai)。他是非欧几何的奠基者之一,与俄国数学家罗巴切夫斯基(Nikolas lvanovich Lobachevsky)不约而同地提出了独立于欧几里得平行公设的几何体系,打破了欧氏几何长达两千年的垄断地位。


亚诺什·波尔约(1802-1860)一生中的最大成就,是摒弃了欧氏几何的第五公设(平行公设),独立创建了绝对几何的概念。

波尔约的父亲也是一位数学家,毕业于哥廷根大学,与“数学王子”高斯(Carl Friedrich Gauss)是同学。他在儿子 4 岁时,就迫不及待地开始教他认识几何图形,了解正弦函数。到 13 岁时,小波尔约已经掌握了微积分学和分析力学的基础知识,天资卓越。

1820 年,当 18 岁的波尔约向父亲透露自己打算研究欧氏几何的平行公设时,一向开明的父亲却是极力劝阻。因为他自己曾在这方面花费巨大心力,最后也和其他人一样无功而返。



自公元前 300 年欧几里得的《几何原本》问世以来,历代数学家都试图通过前四条公设推导证明第五条“平行公设”,但都没有成功。平行公设指出,“如果一条线段与两条直线相交,在某一侧的内角和小于两直角和,那么这两条直线在不断延伸后,会在内角和小于两直角和的一侧相交”。

然而波尔约没有放弃,甚至选择了一条更加激进的路:若平行公设无法证明,便推翻它。1832 年,他在父亲出版的数学原理一书中,以附录形式发表了论文《绝对真理的空间科学》,创建了一种新几何学,即后来所称的双曲几何(Hyperbolic geometry)。对此,高斯也赞赏他为“一流的天才”。

遗憾的是,波尔约的思想在当时并未受到主流学界足够重视。他孤独地度过晚年,直到 20 世纪初非欧几何广泛应用于相对论与黎曼几何,才得以被真正“关注”。尽管如此,他仍象征着匈牙利数学的曙光初现,也为日后“问题驱动”与“非线性思维”的学科风格埋下种子。

NO.2  创新与绽放  双城驱动,推广竞赛选拔

1867 年,奥地利与匈牙利合组奥匈帝国,成为欧洲的强权之一。由于中央权力掌握在维也纳,匈牙利学术界时常面临资源倾斜与文化压制。但这种“夹缝中的竞争”,反而在一定程度上激发了匈牙利学者的危机意识与民族自觉。他们更倾向于通过本土语言、教育改革和竞赛制度,塑造属于自己的学术文化。


进入 19 世纪下半叶,布达佩斯逐步聚集起一批数学家、教育家与制度改革者,开启了属于匈牙利的“数学集群”。

这一时代的标志性创新,是建立了全世界最早的中学数学竞赛体系。1894 年,一本面向高中生的数学与物理期刊《KoMaL》在匈牙利西北部城市杰尔(Gyor)创刊,并于当年秋天举办了首届厄特沃什(Eotvos)数学竞赛。通过“题目-投稿-评注”的互动方式,发掘出一代又一代数学少年,也在全国范围内播撒了“解题即思考”的数学文化。


竞赛的优胜者利波特·费耶尔、阿尔弗雷德·哈尔、冯·卡门、保罗·埃尔德什、帕尔·图兰等人,后来都成为了享誉世界的学派中坚。这一体系至今仍在运行,成为世界范围内持续时间最长、影响力最深的数学竞赛平台。

正是在这一背景下,利波特·费耶尔(Lipót Fejér)脱颖而出。他是 20 世纪匈牙利分析学派的代表人物之一,被誉为“匈牙利现代数学的奠基人”。

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利波特·费耶尔(1880-1959)不仅是《KoMaL》的忠实读者,还在厄特沃什数学竞赛中获得过二等奖。他日后的主要学术成就,包括解决了傅里叶级数收敛问题、提出“费耶尔定理”。

费耶尔的研究聚焦于谐波分析领域。20 岁时,他在法国科学院的期刊上发表了关于进一步发展傅里叶级数理论的论文,开始在国际上崭露头角。和大多数匈牙利学者的求学路径类似,费耶尔先后在布达佩斯大学、柏林大学和哥廷根大学深造。自 1911 年起担任布达佩斯大学数学系主任,直至去世。

他开创的教学风格强调直觉启发与问题驱动,培养出一大批日后成为推动匈牙利数学走向辉煌的中坚力量。例如,波利亚与塞格在分析与教育方面成就斐然,图兰与埃尔德什在数论与组合领域影响深远,雷尼与卡尔马则分别拓展了信息论与逻辑学的边界。




布达佩斯大学始建于 1635 年,曾在 19 世纪末 20 世纪初跻身全球 top15 。历经几度易名,1873-1921 年期间称为布达佩斯大学,1950 年后更名为罗兰大学(ELTE)。

乔治·波利亚(George Pólya)是费耶尔的早期学生之一。他曾指出,自己成为数学家的关键因素,便是《KoMaL》以及费耶尔的指导。

他在费耶尔门下拿到博士学位后,先后赴苏黎世联邦理工学院、美国斯坦福大学任教。他在复分析、概率论与组合数学方面建树颇丰,更以数学教育贡献闻名于世。他最著名的著作《如何解决问题》(How to Solve It)提出了“四步解题法”,强调从已知到未知的策略探索。这本书被译为多种语言,成为全球数学教师和学生的必读经典,也将匈牙利风格的“问题驱动”思维推向世界。


乔治·波利亚(1887-1985)就数学教育出版了五本代表性著作,包括《如何解决问题》、《数学与合理推理》(1/2 卷)、《数学发现:论理解、学习和教学问题解决》(1/2 卷),皆为经典。此外,还有三个以他命名的数学奖项。

波利亚的好友加博尔·塞格(Gábor Szego),也是分析学派的先驱之一。他俩合著的《分析领域中的问题和定理》(Problems and Theorems in Analysis)广为流传,为 20 世纪初的数学分析教育提供了标准模板。

塞格最重要的工作,是对托普利茨矩阵和正交多项式理论做出了奠基性贡献。遗憾的是,他因为犹太人身份不得不在 1936 年移居美国。后任教于斯坦福大学,和波利亚一道成为匈牙利数学在美传播的重要桥梁。


加博尔·塞格(1895-1985)与乔治·波利亚(居右)在柏林合影。塞格还曾是冯·诺依曼的私人老师。

与费耶尔同时代的另一位重要人物是弗里杰什·里斯(Frigyes Riesz),泛函分析的奠基者之一。他出生于杰尔市的一个犹太家庭,其教育背景深受德国的严谨表达和抽象思维影响。

  
弗里杰什·里斯(1880-1956)有一个弟弟马塞尔·里斯(Marcel Riesz,右图),也是一名数学家。

他的大部分学术成果都收录于《弗里杰什·里斯作品集》,囊括拓扑学、函数空间、泛函分析、遍历理论等诸多领域。其中,最著名的一项成果是 1907 年提出的里斯-菲舍尔定理(Riesz-Fischer theorem)。该定理证明了平方可积函数空间的完备性,奠定了函数空间理论基础,在数学领域尤其是泛函分析中具有举足轻重的意义。


虽然被命名为里斯-菲舍尔定理,但这条定理是两人独立发现的。

1912 年,里斯受邀于克卢日大学(1921 年搬迁至塞格德,更名为塞格德大学)教授微积分学。同期前往的还有阿尔弗雷德·哈尔(Alfréd Haar),负责教授代数、数论和概率论。他俩的教育背景类似,都曾求学于布达佩斯大学、哥廷根大学。


阿尔弗雷德·哈尔(1885-1933)最重要的贡献是为群分析引入了哈尔测度(Haar measure),使局部紧致拓扑群上的积分理论成为可能,为现代调和分析和李群表示论奠定了基础。

彼时,希尔伯特领导下的哥廷根大学正值全盛时期,有着“全球数学中心”之美誉。哈尔与里斯也效仿其模式,在塞格德大学建立了匈牙利最早的数学研究所之一,创办了匈牙利第一份获得国际认可的数学期刊《数学科学学报》。

至 1930 年后,塞格德成为继布达佩斯以外,匈牙利另一数学重镇。布达佩斯强调教学传统与哲学渊源,塞格德则以研究集群和泛函分析为导向。这一时期的匈牙利数学,足以与德国、法国齐名。其核心特征是,通过中学竞赛、高等教育与研究机构三位一体的方式,将数学人才从校园推向了国际舞台。

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 楼主| 发表于 2025-8-22 01:26 | 显示全部楼层
NO.3  坚守与流亡  “火星人”远征世界

随着 20 世纪 30 年代的战火蔓延,匈牙利社会动荡加剧,数学界也迅速从“黄金时代”滑入危机边缘。在纳粹德国压力下,匈牙利政府通过了第一部反犹法令《犹太配额法》,限制犹太裔学生升学与教授任用比例,直接冲击了数学界的根基。

据悉,活跃于布达佩斯与塞格德大学的犹太知识分子占比高达 23% ,如前文提到的费耶尔、波利亚、塞格、里斯兄弟、哈尔……他们的职业道路和人身安全变得岌岌可危。正是在这样的高压背景下,匈牙利迎来了 20 世纪最深刻的一次数学“迁徙”潮。


此时期的代表人物是保罗·埃尔德什(Pál Erdos),他用半生漂泊证明了“数学无国界”。

保罗·埃尔德什(也称帕尔·埃尔德什,1913-1996)出生于布达佩斯的一个犹太家庭。1983 年,他被授予了“数学界的终生成就奖”沃尔夫奖。

二战期间,埃尔德什为逃避法西斯统治,先后辗转英国、美国等地。他一直渴望回国,却因为犹太身份不得不在世界各地漂泊不定。他的研究几乎涉足了所有数学分支,尤其在数论、组合学、集合论、分析和概率论等方面建树颇丰,是匈牙利学派在 20 世纪中期的学术领袖。

据统计,他一生发表了约 1500 篇论文,合作者超过 500 多位。以至于其他数学家创造了一个埃尔德什数(非负整数),来表示自己与埃尔德什在出版物方面的差距。


假设 Alice 与埃尔德什合作撰写了一篇论文,与 Bob 合作撰写了另一篇论文,但 Bob 本人从未与埃尔德什合作过,那么 Bob 的埃尔德什数就是 2 ,因为他距离埃尔德什有两步之遥。

与埃尔德什长期合作的图兰·帕尔(Turán Pál ),也深受战争影响。作为费耶尔的学生,他早年即展现出在数论与极值图论方面的建树。不过由于犹太背景,他从 1940 年至 1944 年被监禁于劳役营,被迫从事修建铁路、搬运木材砖块等重体力劳动。在如此极端条件下,他也依旧坚持数学研究,并撰写了一篇关于黎曼 zeta 函数的长篇论文。

1945 年,获释后的图兰回到布达佩斯大学任教。他提出的图兰不等式与图兰定理等基本概念,奠定现代图论的理论框架。他的事迹,也成为了战后匈牙利学界“精神不屈”的象征。


图兰·帕尔(1910-1976)也曾是《KoMaL》杂志上的著名答题者。他在 20 岁时结识了埃尔德什,与他合作了 46 年,联合发表论文 28 篇。

相比之下,比图兰年长 5 岁的犹太裔数学家拉斯洛·卡尔马(László Kalmár)则幸运许多,他在费耶尔门下获得数学和物理博士学位后,进入塞格德大学担任里斯和哈尔的研究助理。虽然因为种族主义法令,一度被解除了助理教授职务,但也侥幸逃脱了被驱逐出境的命运。   

1944 年 10 月,随着相关法令被废除,卡尔马立即恢复了教职,并一路跃升至塞格德大学校长。正是在他的领导下,赛格德大学创建了匈牙利最早的逻辑学课程,开拓了数理逻辑与计算理论的教学体系。


拉斯洛·卡尔马(1905-1976)被认为是匈牙利数理逻辑和理论计算机科学的创始人。

在 1930 年至 1945 年期间,除了少数几位犹太学者能够留在匈牙利坚持教学事业,大批犹太青年因为政治动荡、教育机会受限或是直接迫害,不得不随家庭移居海外。其中不乏一群智力超凡、被称为“布达佩斯火星人”的未来科学巨匠。

许多人将参与了曼哈顿计划的冯·诺依曼(John von Neumann)视为美国科学家,殊不知他也是出生于布达佩斯的犹太家庭。他的原生家庭富足,身为银行家的父亲还被弗朗茨·约瑟夫皇帝封为匈牙利贵族,却也难逃背井离乡的命运。


冯·诺依曼(1903-1957)被认为是“最后一位贯通多个领域的大数学家”。他不仅对集合论、遍历理论、测度论、几何、分析、拓扑等数学领域做出了奠基性贡献,还为量子力学建立了严格的数学框架。由于现代计算机的基本框架源自“冯·诺伊曼结构”,他还被称为“现代计算机之父”。

在“布达佩斯火星人”群体中,更年轻的成员还有彼得·拉克斯(Peter Lax)、约翰·凯梅尼(John G. Kemeny)、鲁道夫·卡尔曼(Rudolf E. Kálmán)等人。他们甚至来不及在匈牙利完成高等教育,但仍被视为“匈牙利数学传统的延续者”。

彼得·拉克斯在偏微分方程和数值分析中开辟新局,荣获过1987年沃尔夫奖、2005年阿贝尔奖。约翰·凯梅尼在美国主持开发BASIC编程语言,推动了数学逻辑进入大众教育体系。鲁道夫·卡尔曼则因发明“卡尔曼滤波器”,对控制论和工程数学产生了深远影响。


彼得·拉克斯(1926-2025)


约翰·凯梅尼(1926-1992)


鲁道夫·卡尔曼(1930-2016)

对于匈牙利而言,这场政治动荡造成的学派传承断裂,使本土研究至少停滞了 10 年以上。而对于世界,尤其是美国,则是一场“人才馈赠”——在曼哈顿计划的核心团队中,有三分之一为匈牙利裔;而在计算机科学奠基文献中,匈牙利姓氏占比超过 25% 。

正如漂泊者埃尔德什所言:“一个问题,一支笔,一位朋友,就能让世界动起来。”数学在民族危机中获得了跨越国界的表达,而匈牙利也通过流亡的头脑、漂泊的论文与跨洋的合作,把解题文化从多瑙河畔带往了整个世界。

NO.4  重建与传承  离散数学引领全球

二战结束后,匈牙利百废待兴,但数学界却迎来了新的集结与重建。这一阶段,匈牙利逐步确立了图论、组合数学、加法数论与概率论等方向的世界领先地位,形成了鲜明的学科风格与本土体系。

阿尔弗雷德·雷尼(Alfréd Rényi)是这场重建的核心人物。1950 年,他创立了匈牙利科学院数学研究所(后更名为“阿尔弗雷德·雷尼数学研究所”),确立图论与组合数学为国家重点研究方向,并大力推动“随机方法”在数学领域的广泛应用。凭借研究所的组织架构设计、青年人才引进机制以及与竞赛选拔系统,雷尼为 20 世纪下半叶的匈牙利数学构建起一个涵盖中学、大学与研究机构的完整生态系统。


阿尔弗雷德·雷尼(1921-1970)也是成长于布达佩斯-赛格德大学体系,并且在信息论、随机结构与概率数论等领域做出了开创性贡献。

在雷尼的精心组织与培养下,一批年轻数学家逐渐在图论与组合数学领域崭露头角,其中最杰出的代表是图兰·帕尔的学生恩德雷·塞梅雷迪(Endre Szemerédi)。塞梅雷迪是“加法组合数论”的奠基者之一,他在该领域以及离散数学、理论计算机科学、离散几何等领域发表了 200 多篇科学论文。

他最为人所熟知的成就,是在 1975 年提出的塞梅雷迪定理:“任意密度为正的自然数集合都包含任意长的等差数列”。这一成果成功解答了埃尔德什和图兰于 1936 年提出的猜想。随后,塞梅雷迪定理还被多次拓展与应用,著名华裔数学家陶哲轩称赞其为连接不同数学领域的“罗塞塔石碑”。


2012 年,72 岁的恩德雷·塞梅雷迪因“在离散数学和理论计算机科学中的深远贡献”荣获阿贝尔奖,成为当代匈牙利数学的最高成就象征。

另一位与之并肩的学者是拉兹洛·洛瓦兹(László Lovász)。他出身于布达佩斯的数学竞赛体系,曾在国际数学奥林匹克竞赛中获得三枚金牌(1964-1966)和一枚银牌(1963)。此后,他又狂揽沃尔夫奖、阿贝尔奖、博莱奖、京都奖、塞切尼奖和布尔巴基奖……我们熟知的数学大奖,他基本上拿了个遍。

2007 年至 2010 年,洛瓦兹出任国际数学联盟主席,成为匈牙利历史上最具国际影响力的数学家代表。


拉兹洛·洛瓦兹(1948-)荣膺多个院士头衔,包括匈牙利科学院院士、欧洲科学院院士、德国科学院院士、俄罗斯科学院院士、瑞典皇家科学院院士、美国国家科学院院士、挪威科学院外籍院士。

他的数学之路,深受埃尔德什的影响。正是在后者的鼓励下,洛瓦兹开始从事“匈牙利式组合数学”研究。1975 年,洛瓦兹与埃尔德什共同提出洛瓦兹局部引理,不仅确立了离散数学解决计算机科学基本理论问题的方法,也成为超图理论中最重要的定理之一。

除了基础数学研究,洛瓦兹也积极投身计算机基础理论和算法研究。1982 年,他联合荷兰数学家伦斯特拉兄弟(Arjen Lenstra 与 Hendrik Lenstra)设计出 LLL 算法,现被广泛应用于密码学、整数规划、数论等领域。

洛瓦兹同时也是一位虔诚的传道者,喜欢亲自指导学生。他先后于罗兰大学、赛格德大学、耶鲁大学任教 40 余年,从几何学到计算机科学,不遗余力地推广匈牙利风格的“问题驱动”思维。

NO.5  尾声  星火不熄,传统犹在

在当今全球数学格局中,匈牙利虽不再是论文产出最多的国家,也鲜少包揽顶尖奖项,但它仍然保有世界上最完整的中学数学竞赛体系、最活跃的离散数学网络,以竞赛成绩与学术影响稳居强国之列。

从黄金时代的群星闪耀,到战乱之后重建的离散王国,匈牙利用百年时间证明:一个国家的科学高度,从不取决于领土的广袤,而在于思想的深邃。匈牙利数学的辉煌,固然得益于一批天才的横空出世,但它真正的成功之处,在于长年累月的制度建设与文化积淀,是“问题驱动”与“竞赛选拔”双轮并行的成果。若以国际奥林匹克竞赛的金牌转化率来衡量,匈牙利获奖者成为顶尖学者的比例高达 38% ,远超中美。

近年来,匈牙利仍不乏在国际舞台上的数学回响。2021 年,拉兹洛·洛瓦兹因其在组合数学与算法理论方面的深远贡献,荣获阿贝尔奖,点亮匈牙利数学继塞梅雷迪之后的又一高光时刻。与此同时,雷尼研究所持续在图论与组合数学方向保持国际领先,其主办的“埃尔德什夏校”每年吸引全球青年学者汇聚布达佩斯,共同思辨、解题,激活新一代的科学想象力。

可以说,自波尔约传承的星火从未熄灭,它蛰伏于每一颗不甘被国土尺寸定义的大脑之中,持续闪耀着独特的光芒。



编者注:匈牙利人的姓名,排列与中国人名相似,姓在前名在后。为了与其他资料统一,本文在提及人名时采用西方姓名顺序,即先名后姓。

原创  茶思编辑部  黄大年茶思科技网站  2025 年08 月 07 日 12:06  北京

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