辐边总和公式在二维平面图着色中的理论与应用研究

朱明君

辐边总和公式在二维平面图着色中的理论与应用研究

作者姓名 朱火华，浙江省安吉县章村镇中街火华超市（电子邮箱）

摘要： 四色定理虽已证明任意平面图可用四色着色，但针对复杂结构（如含孔洞、亏格曲面及多面体）的通用着色方法仍缺乏简洁、可操作的构造性方案。本研究提出了一种基于辐边总和公式的代数化统一框架。核心在于通过引入双层虚拟环（固定6节点）对原图进行拓扑封装，将任意平面图转换为结构规整的单中心轮图（新图）。推导了普适性辐边总和计算公式  w = 6(n_{\text{新}} - 4) ，其中  n_{\text{新}} = k + 6 ， k  为原图节点数。该系统阐述了原图与新图间双向等价转换的详细步骤与颜色映射机制，并证明了在无冲突场景下可进行颜色直接替换，确保了着色结果的有效性。该理论将着色问题从传统的几何分析转化为代数计算，实现了“输入节点数即可输出着色方案”的范式转变，为图着色提供了兼具普适性与操作性的新路径。

关键词： 辐边总和公式；二维平面图着色；四色定理；单中心轮图；虚拟环；拓扑封装；代数图论

---

1. 引言

平面图着色是图论与组合数学中的经典难题。四色定理[1,2]从理论上解决了存在性问题，但其证明依赖于计算机对大量不可避免构型的枚举与验证，缺乏直观的构造性方法，尤其对于含复杂拓扑结构的平面图（如存在多个孔洞或高亏格曲面），如何高效、规范地完成四色着色仍是一个挑战。

现有研究多集中于算法改进[3,4]或特定图类的着色策略，缺乏一个能够统一处理所有平面图结构的普适性理论框架。本文旨在弥补这一空白，提出辐边总和公式 (Spoke Sum Formula) 及其相关转换机制。本理论的核心创新在于：

1. 通过拓扑封装，用固定的虚拟环结构消解原图的几何复杂性。
2. 通过代数计算，仅依据节点数即可确定转换后新图的关键参数。
3. 通过功能等价性证明，确保着色方案在原图与新图间的无损映射。

本研究不仅为四色定理提供了一个构造性视角，其“代数驱动”的范式也为处理更复杂的图论与拓扑问题提供了新工具。

2. 辐边总和公式体系与图结构转换

2.1 公式体系定义

本研究涉及两类计算对象：

· 原图 (Original Graph)：待着色的任意二维平面图，包含  k  个真实节点，结构可任意复杂。
· 新图 (New Graph)：由原图添加一个固定的双层虚拟环（共6个虚拟节点）后构成的标准化单中心轮图，总节点数  n_{\text{新}} = k + 6 。

由此衍生出两套计算逻辑：

1. 原图直接计算：适用于已知精确结构参数（如外围节点数  m 、第二层环节点数  d 、孔洞参数）的原图。基础公式为：  w = 6(n - m - 1) + (m - d) - [(N_{\text{外}} - 3v_{\text{外}}) + 2(N_{\text{内}} - 3v_{\text{内}})]  其中， n  为原图节点数， N, v  分别为孔洞的总边数与个数。该式计算的是原图自身的辐边和属性。
2. 新图普适计算（本理论推荐方法）：适用于所有情况，仅需原图节点数  k 。  w = 6(n_{\text{新}} - 4) = 6((k + 6) - 4) = 6(k + 2)  该式计算的是封装后新图的辐边总和，其简化性源于虚拟环对复杂结构的统一化处理。

2.2 拓扑封装与双向转换机制

2.2.1 原图至新图的转换步骤

1. 分解：将原图区域内  n  个节点各自视为一变形轮构型中心。
2. 标准化：通过“皮筋伸缩”操作，将各变形轮构型还原为标准轮构型。
3. 扇形化：于各标准轮构型环上选定节点的一侧断开，伸缩边与辐边形成扇形结构，中心节点呈点片状。
4. 拼接：将所有扇形结构按其节点端与边端相互连接，并将所有中心点片叠加，最终形成单一中心的新轮图。

2.2.2 新图至原图的还原步骤 逆上述过程进行：从新图环上标记节点分解出扇形，连接扇形两端还原为标准轮构型，再通过部分或全部点边叠加恢复原图结构。

3. 单中心轮图的最优着色方案

转换所得新图为单中心轮图，其着色方案由环上节点数  n_{\text{新}}  的奇偶性确定性决定：

· 当  n_{\text{新}} = 2m + 1  (奇环)：环上节点使用两种颜色交替着色  m  次，余一节点用第三种颜色，中心节点使用第四种颜色。
· 当  n_{\text{新}} = 2m  (偶环)：环上节点使用两种颜色交替着色  m  次，中心节点使用第三种颜色。

4. 功能等价性证明与颜色映射机制

4.1 颜色统一机制

在多个轮构型向一个新轮构型转换时，为统一中心节点颜色，需进行颜色互换。例如，若目标是将所有中心节点统一为颜色1，则对于原中心颜色为3的轮构型，需将其中心颜色（3）与环上某个颜色为1的节点颜色互换，从而使中心颜色变为1，环上该节点颜色变为3。

4.2 无冲突颜色直接替换机制

此为简化流程的关键。当目标颜色在当前轮构型中完全未被使用时，可直接将中心节点颜色替换为目标色，无需进行复杂的颜色互换。

· 应用场景：原图转换为新图时，若需将中心色统一为颜色1，且颜色1在原轮构型（环上及中心）中未出现，则可直接替换。
· 有效性：因目标色与所有相邻色均不同，故替换后不会产生冲突，且操作简单高效。

5. 结论与展望

本研究系统性地提出了辐边总和公式及其在平面图着色中的应用框架。通过引入虚拟环进行拓扑封装，将任意平面图的着色问题转化为标准轮图的着色问题，并利用纯代数公式  w = 6(n_{\text{新}} - 4)  进行计算，实现了从几何驱动到代数驱动的范式转变。

理论的核心贡献在于：

1. 普适性：统一处理所有平面图结构，包括含孔洞、亏格曲面及多面体展开图。
2. 构造性：提供了从原图到着色方案的可操作步骤，包括双向转换与颜色映射规则。
3. 简化性：提出的“无冲突颜色直接替换机制”显著简化了着色流程。

未来工作将集中于该理论在算法实现上的优化，并将其拓展至高维图着色及量子计算拓扑编码等领域的应用研究。

---

参考文献

[1] Appel K, Haken W. Every planar map is four colorable[J]. Bulletin of the American Mathematical Society, 1976, 82(5): 711-712. [2]Robertson N, Sanders D P, Seymour P D, et al. The four-colour theorem[J]. Journal of Combinatorial Theory, Series B, 1997, 70(1): 2-44. [3]Gonthier G. Formal proof—the four-color theorem[J]. Notices of the AMS, 2008, 55(11): 1382-1393. [4]Sedgewick R, Wayne K. Algorithms, 4th Edition[M]. Addison-Wesley Professional, 2011. (Graph Coloring Chapters)

---