\(\huge^\star\;[0,1]\textbf{不可数的几种证明}\)

elim

【定义】称\(S\)的子集全体\(\mathscr{P}(S)=\{A\mid A\subset S\}\)为\(S\)的幂集.
【康托幂集定理】任意映射 \(f:S\to\mathscr{P}(S)\) 皆非满射．
【证明】命 \(A=\{x\in S\mid x\not\in f(x)\}\in.\mathscr{P}(S)\). 若 \(f\) 为满射，
\(\qquad\qquad\)则有 \(\alpha\in S\) 使 \(f(\alpha)=A\).  据 \(A\) 的定义，
\(\qquad\qquad\)若 \(\alpha\in A\) 则 \(\alpha\not\in f(\alpha)=A;\)
\(\qquad\qquad\)若 \(\alpha\not\in A=f(\alpha),\) 则 \(\alpha \in A.\)
\(\qquad\qquad\)得到 \((\alpha\in A)\iff (\alpha \not\in A)\)  的矛盾！
\(\qquad\qquad\)故所论\(\alpha\)不存在, \(f^{-1}(A)=\varnothing,\;f\) 非滿射．

【注记】康托的这个定理与幂集公理一起，表明集与其幂集恒
\(\quad\)不对等，有无穷多不同的无穷基数．

以下论证 \([0,1]\), \(\mathscr{P}(\mathbb{N})\) 对等. 由康托幂集定理知\([0,1]\)不可数.

令 \(\mathscr{L}(\mathbb{N}_+)=\{A\in\{B,B^c\}:\;B\subset\mathbb{N}_+,\;0< |B|\in\mathbb{N}_+\}\)
易见(\(\mathbb{N}_+\)的有限子集及其补集全体) \(\mathscr{L}(\mathbb{N_+})\) 可数.
\(\bigg(A\mapsto \displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}_+}2^n\chi_A(n) \) 是\(\mathbb{N}_+\)的有限子集到\(\mathbb{N}\) 的单射.\(\bigg)\)
令 \(C_0 =  \displaystyle\{{\small\sum_{k=1}^\infty\frac{\chi_A(k)}{2^k}}\mid A\in\mathscr{L}(\mathbb{N}_+)\},\;C=[0,1)-C_0\)
\(\quad\)对 \(\alpha\in C,\;\;a_k=\lfloor 2^k\alpha\rfloor -2\lfloor 2^{k-1}\alpha\rfloor,\;(k=1,2,3,\ldots)\),
\(\quad\)因 \(2^{n-1}\alpha-\lfloor 2^{n-1}\alpha\rfloor< 1,\;\lfloor 2^k\alpha\rfloor -2\lfloor 2^{k-1}\alpha\rfloor\in\{0,1\}\)
\(\therefore\quad\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{2^{n}}=\lim_{m\to\infty}\sum_{n=1}^m\big(\frac{\lfloor 2^n\alpha\rfloor}{2^n}-\frac{\lfloor 2^{n-1}\alpha\rfloor}{2^{n-1}}\big)\)
\(\qquad\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\lfloor 2^n\alpha\rfloor}{2^n} =\lim_{n\to\infty}\frac{2^n\alpha-(2^n\alpha-\lfloor 2^n\alpha\rfloor) }{2^n} = \alpha\)
\(\therefore\quad \alpha\in C\) 与
\(A=\{n\in\mathbb{N}_+:\;\lfloor 2^n\alpha\rfloor -2\lfloor 2^{n-1}\alpha\rfloor = 1\}\in\small\mathscr{P}(\mathbb{N}_+)-\mathscr{L}(\mathbb{N}_+)\)
\(\qquad\)的关系是1-1对应.  故\(|\mathbb{R}|=|C|=|\mathscr{P}(\mathbb{N})-\mathscr{L}(\mathbb{N}_+)|=|\mathscr{P}(\mathbb{N})|=2^{\aleph_0}>\aleph_0\)

APB先生

      对于 \(\left[ 0{,}1\right]\) 中的可数的全体小数，我可以从无穷小小数 \(0.\dot{0}1\) 开始写，一直写到无穷大小数 \(0.\dot{9}9\) ，并建立与自然数集 \(\mathbb{N}\) 的一一对应：\[f:\left\{ 0.\dot{0}1{,}\ 0.\dot{0}2{,}\ \cdots{,}\ 0.\dot{9}9\right\}\leftrightarrow\left\{ 1{,}\ 2{,}\ \cdots{,}\ \dot{9}9\right\}\subset\mathbb{N}\]
      而楼主 elim 尽管一生都坚信 \(\left[ 0{,}\ 1\right]\) 不可数，却从来也写不出任何一个不可数的小数来，这就已经说明：\(\left[ 0{,}\ 1\right]\) 不可数是错误的。

APB先生

      你还是先弄清楚区间 \(\left[ 0{,}1\right]\) 有没有不可数的实数吧！！如果你连一个不可数的元素都找不到，却还要相信
\(\left[ 0{,}1\right]\) 不可数，还要搞出华而不实的多个证明，岂不是大错特错，错了 180 度，大方向都错了，还证明个屁呀！
      我写出了  \(\left[ 0{,}1\right]\) 的可数的元素有无穷多个，你犹如瞎子似的视而不见；却还迷信没有一个不可数元素的
\(\left[ 0{,}1\right]\) 是不可数的，由此可见：你是是非颠倒啊 ！！

APB先生

      你还是先弄清楚区间 \(\left[ 0{,}1\right]\) 有没有不可数的实数吧！！如果你连一个不可数的元素都找不到，却还要相信
\(\left[ 0{,}1\right]\) 不可数，还要搞出华而不实的多个证明，岂不是大错特错，错了 180 度，大方向都错了，还证明个屁呀！
      我写出了  \(\left[ 0{,}1\right]\) 的可数的元素有无穷多个，你犹如瞎子似的视而不见；却还迷信没有一个不可数元素的
\(\left[ 0{,}1\right]\) 是不可数的，由此可见：你是是非颠倒啊 ！！

elim

APB先生 发表于 2025-8-24 01:50
对于 \(\left[ 0{,}1\right]\) 中的可数的全体小数，我可以从无穷小小数 \(0.\dot{0}1\) 开始写，一 ...

可数不可数是集合性质, 不是单个数的性质.
APB先把基本概念弄清楚再说.  一个不知道
何谓不可数的傻蛋招呼他人犯傻？开玩笑？

顺便指出, 主贴是论证而不是信仰. APB 根本
不懂主贴涉及的数学内容．