换个视角了解拉普拉斯变换

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换个视角了解拉普拉斯变换

原创  老蒋  控制系统安全技术研究所  2025 年 08 月 25 日 14:40  甘肃

拉普拉斯变换是信息类从业者最常接触的公式之一。你可能会以为它诞生之初就是为了处理复杂信号，但实际上，它最初的目标非常朴素——简化微分运算，尤其是天体力学中常见的复杂微分方程。拉普拉斯希望通过一种变换方法，将难以求解的微分方程转化为代数方程，从而更容易求解。

一、皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）

谈到拉普拉斯变换，不得不提下图中四位大佬：拉普拉斯、傅里叶、麦克斯韦和赫维赛德。起初我以为拉普拉斯变换是在赫维赛德工作的基础上提出的，但查阅资料后才发现，拉普拉斯根本没听说过赫维赛德是谁。



拉普拉斯出生在法国诺曼底，家境一般，但早年就展现出极高的数学天赋。年轻时，他加入巴黎科学院，逐渐成为欧洲著名科学家。他的职业生涯与法国大革命、拿破仑时期及复辟时期紧密相连，甚至在拿破仑政府中担任重要职务。

除了天文学、概率论、热力学、声学等方面的成就，拉普拉斯还有一个“物理学四大神兽”之一——拉普拉斯妖（Laplace's Demon），它源于他对决定论的观点：

“如果我们知道每一个粒子的位置和速度，那么我们就能够预测整个宇宙的未来。”

这种观点后来被称为“拉普拉斯妖”（Laplace's Demon），即如果一个智力足够强大的存在知道宇宙中所有粒子的状态，它就能够精确地预测所有事件的未来和过去。

在研究天体力学的过程中，拉普拉斯面临大量复杂微分方程的求解难题，于是提出了拉普拉斯变换，把时间域（或空间域）中的微分方程转化为复频域中的代数方程，从而简化求解过程。公式如下：



这里，f(t) 是时间域中的函数，而 F(s) 是复频域中的函数，s 是复数变量，具有实部和虚部。通过这种变换，原来涉及到微分操作的问题变为代数操作，从而可以更容易地求解。拉普拉斯本人并没有像我们今天看到的那样系统化提出“拉普拉斯变换”这个完整体系。他最早提出的积分形式，其目的主要是解决天体力学和概率论中的微分方程问题。换句话说，他最初的“变换”只是一个数学工具或技巧，而不是工程或控制理论中的标准方法。

看到这里脑袋瓜子嗡嗡的，不是说是简化运算吗，怎么整的更复杂了，还不如干脆求微积分算了！

其实问题就在于：拉普拉斯的工作主要是从理论层面提出了一种简化微分方程求解的方法——即拉普拉斯变换。这种变换将时间域的微分方程转化为复频域的代数方程，使得原本复杂的微分方程可以通过代数方法来解决。这是一个非常强大的数学工具，尤其在物理学和天体力学中起到了非常重要的作用。然而，拉普拉斯变换本身更像是一个理论框架或工具公式，而如何应用这个变换，尤其是在实际工程中遇到的复杂情况，拉普拉斯并没有进一步详细阐述。

换句话说，拉普拉斯最早的“变换”是一个积分技巧的萌芽阶段，后来经过赫维赛德、布劳恩、爱因斯坦等人的发展，才逐渐演变成我们今天在控制理论和信号处理里使用的拉普拉斯变换体系。

怎么办，别急，另一个大佬该出场了。

二、奥利弗·赫维赛德（Oliver Heaviside）

奥列弗. 赫维赛德是维多利亚时期英国人，出身于极度贫穷的家庭，听力部分残疾，还得过猩红热，从未上过大学，完全靠自学和兴趣掌握了高等科学和数学。赫维赛德不仅是一个杰出的科学家，也是一位非常有个性的学者。他的一些言论和行为在当时引发了广泛的争议，甚至被视为极端。这里整理了他部分的个性言论，其实就今天来说也很有借鉴意义。

对数学形式主义的批评： 赫维赛德对传统数学的形式主义进行了激烈的批评，他认为当时的数学研究过于死板，脱离了实际应用。他曾经直言不讳地表示，“数学只是为了帮助解决实际问题，而不是为了满足某些抽象的规则。”赫维赛德对于那些脱离实际应用的“纯数学”有着强烈的反感，他认为这种做法不仅浪费时间，还不切实际。

对经典物理学家的批评： 赫维赛德曾批评一些著名的物理学家，尤其是对当时的麦克斯韦方程组的批判。他认为麦克斯韦的电磁理论在某些方面并不完全正确，并在自己的研究中做出了相当大胆的修改和简化。例如，赫维赛德对电磁场的公式进行了重新改写，提出了更加符合工程实践的描述方法，并通过自己的方式修正了麦克斯韦的原始理论。赫维赛德对麦克斯韦的理论并不完全接受，认为其过于复杂且不易应用。

为了撰写这个推文，我专门去查了最早麦克斯韦的 20 个方程，本想敲出来让大家瞅瞅，但实在不想敲公式了，大家自行查阅吧。麦克斯韦的原始方程组最早发表于 1861 年，它们是麦克斯韦将电和磁现象统一到一组方程中的结果。虽然这些方程无疑是数学和物理学的巨大突破，但当时麦克斯韦方程的复杂形式并没有立即为工程应用带来显著的影响。麦克斯韦方程组最初包括了一些非常复杂的项，尤其是在物理学家的框架下，它们主要解决的是理论和数学模型中的问题。由于这些方程的复杂性和抽象性，它们在当时的工程应用中并没有得到广泛采用。

赫维赛德意识到，要使电磁学在电气工程和信号处理等领域发挥实际作用，就必须简化麦克斯韦方程，并使其变得更加“工程化”——即使这些方程不仅仅是纯粹的理论工具，而是真正能够在现实中使用的数学模型。看看他简化重构后的方程吧：



赫维赛德在 1890 年代对麦克斯韦方程的简化和修改，使得这些方程不再是一个只适合理论研究的抽象数学模型，而变成了工程师日常工作中必不可少的工具。赫维赛德对麦克斯韦方程的简化过程，可以说是让这些理论方程获得了实际的生命，使其能在电气工程、无线通信、光学等实际领域中发挥关键作用。

赫维赛德这种应用主义的操作手法，虽然在理论界颇受争议，但在工程界却颇受欢迎。这里就要提到他的另一贡献”运算微积分“。和拉普拉斯的困惑一样，1880 年 - 1887 年之间，他在进行电磁场研究的过程中，也是受困于微积分方程的求解，他的做法就颇为牛逼了——靠直觉解方程。看看大佬的操作手法。



也就是说在某种运算下，微分运算和积分运算就倒数关系，至于 p 是什么，赫维赛德没说，但这么操作确实可行。据说赫维赛德确实也这么发表过论文。对于质疑，他的回答是“因为我不能理解消化过程就拒绝晚餐吗？不，只要我满意这个结果"。

其实今天我们已经很清楚的知道了，这是什么，这就是拉普拉斯变换的一种形式表达。

这里我要说明一点：有很多文章都提出“赫维赛德的微积分算子，就是拉普拉斯变换的前身"，其实不是，更多的是给出了拉普拉斯变换工程化的一种操作形式。文中开头的人物时间图已经明确给出，拉普拉斯变换的提出要早于赫维赛德的出生时间，赫维赛德的理论怎么会是拉普拉斯变换的前身呢？

但我的困惑在于，他们两人其实都在解决同一个问题，为什么赫维赛德没有发现 p 其实就是拉普拉斯变换的一种形式呢，难道是没有认真读文献？

我个人觉得，赫维赛德微积分算子与拉普拉斯变换的不同在于：赫维赛德的运算微积分虽然使用了“操作符”的概念，但他并没有将其转化为复频域的数学工具，而拉普拉斯变换则将微分算符转化为复数变量 s ，使得方程的求解更加标准化和普适。

赫维赛德的工作其实不止于此，他还提出过一种阶跃函数，他更强调数学直观性和工程应用，尤其是在电气工程中处理瞬态现象和电磁波传播时。他的阶跃函数、脉冲函数和传输线理论等方法在物理上更直观，易于应用于实际工程问题。相比之下，拉普拉斯变换虽然强大，但它的频域方法和复数分析需要较为复杂的数学背景，且在某些实际问题中不如赫维赛德的时域方法那样直接。

或许可能的解释是，在赫维赛德的时代，拉普拉斯变换虽然已经存在并被应用于数学和物理学，但它并没有像今天这样普及到所有领域。赫维赛德的研究主要集中在电气工程和电磁学的实际问题上，而这些领域更多依赖于时域的分析，尤其是在电路和信号的瞬态响应分析中。因此，赫维赛德并没有直接采用拉普拉斯变换，而是发展了适应电气工程实际需求的数学方法。

查阅资料的过程中，还有这么一种说法，我觉得更加可信。拉普拉斯确实在 18 世纪末的概率论与天体力学研究中使用过类似



的积分表达式，他把它作为一种工具来研究生成函数、微分方程解法等。 但是，当时它只是一个“技巧”，并没有形成我们今天所说的“拉普拉斯变换体系”。在傅里叶方法逐渐传播开以后，数学家和工程师们发现“引入指数衰减因子 e^(-st) 可以让更多函数的积分收敛”，于是这种积分形式逐渐被独立出来，开始被系统使用。而赫维赛德在电报、通信、控制系统分析中，大量使用“算子法”处理微分方程。他的符号运算实际上就是在使用拉普拉斯变换的思想（虽然没有严格定义）。 直到后来数学家们才从严格的分析角度系统化，把这种积分方法正式称为拉普拉斯变换，并确立在工程和数学中的地位。

拉普拉斯本人没有提出“拉普拉斯变换”这个完整体系。他只是最早在数学研究中用过类似的积分形式。真正的“系统化提出”是在十九世纪末到二十世纪初，主要是工程数学（赫维赛德等人）推动的，后来才在数学界被严格化。

不管怎么说，对于学习《自动控制原理》的同学来说，了解了赫维赛德的思路，那么课程中涉及到拉普拉斯变换的内容都能迎刃而解。

三、举个例子

为了展示拉普拉斯变换和赫维赛德的思路如何简化微积分运算，我将通过一个经典的微分方程来进行演示，并在过程中使用拉普拉斯变换将微分运算转化为代数运算。我们以简单的一阶线性微分方程为例：



我们的目标是求解这个微分方程。

步骤 1 : 对微分方程进行拉普拉斯变换



步骤 2 : 解代数方程



步骤 3 : 对 Y(s) 进行反变换



结果：



四、傅里叶变换和拉普拉斯变换

在说拉普拉斯变化的意义之前，我们要先介绍一下傅里叶变换。傅里叶变换的核心意义在于将复杂的时间域信号分解为不同频率的正弦波成分。这种分解让我们能够用频率的视角理解信号的本质特征，从而揭示信号中隐藏的周期性规律。对周期信号或有限能量信号而言，傅里叶变换能够完整描述信号的频谱信息，使我们不再局限于观察时间变化，而是可以从频率角度进行分析和设计。

傅里叶变换起源于傅里叶在 1822 年出版的《热的解析理论》。他在研究热传导方程时提出，可以将任意函数展开为正弦、余弦的组合，并逐渐形成了傅里叶级数与傅里叶积分的思想，这就是傅里叶变换的雏形。而拉普拉斯变换 的系统化提出则是在十九世纪中叶（约 1850 年以后），比傅里叶的工作要晚几十年。

两者的关系可以这样理解：

● 傅里叶变换 主要处理 振荡、周期性和频率分析，非常适合描述物理中的波动、信号与热传导。它本质上是把函数分解到复指数基底 e^(jwt) 上。

● 拉普拉斯变换 则更偏向于广义积分变换，它通过引入一个指数衰减因子 e^(-st) 来保证收敛，能够处理更一般的函数，包括那些发散或非周期的信号。它在控制理论和工程分析中极为重要。

从数学上看，傅里叶变换其实可以看作是拉普拉斯变换在虚轴 s=jω 上的一个特例，但在历史上，傅里叶变换是先提出的，拉普拉斯变换是后来在工程和系统理论需要中发展出来的。



古巴比伦科学家在很早就用了三角函数和逼近的方法，对天体运动进行观测和预报，1748 年，大神欧拉用类似的方法分析弦的振动，1753 年伯努利提出任意物理弦的振动都可以可以表达为三角函数的和，但是他没给出证明（注意，伯努利是一个家族，3 代人中产生了 8 位科学家，后裔有不少于 120 位被人们系统地追溯过）。1807 年，傅里叶在法国科学学会上提交了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的观点：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。傅里叶没有做出严格的数学论证。这篇论文的审稿人中，有历史上著名的数学家拉格朗日和拉普拉斯，当拉普拉斯和其它审稿人投票通过并要发表这篇论文时，拉格朗日坚决反对，认为傅里叶的方法无法表示带有棱角的信号。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅里叶的工作。1822 年，傅里叶变换随其著作《热的解析》发表，但已经是 15 年之后了。1829 年，狄利赫里通过推导其适用范围，完善了傅里叶变换。

这里用数学公式表达傅里叶变换和拉普拉斯变换的关系：

1、傅里叶变换公式

傅里叶变换将时域信号 f(t) 转换为频域表示 F(ω) ：



2、拉普拉斯变换公式

拉普拉斯变换将时域信号 f(t) 转换为复频域表示 F(s) ：



其中 s=σ+jω 是复变量。

3、变换关系



根据欧拉公式可以知道，e^(-jωt) 代表按不同频率旋转的单位圆，那是在复平面来看的，想象力丰富的同学可以脑补一下，如果把时间轴也加上，e^(-jωt) 长什么样子呢？那就是螺旋曲线。


图片来源：知乎 J Pan

下面我们再来看看 e^(-st) ，s=σ+jω 长什么样子：


图片来源：知乎 J Pan

螺旋曲线和衰减函数的乘积：一个半径不断减小的螺旋曲线。从不同的平面看，就是不断衰减的正弦或者余弦曲线，从复平面来看，是一个半径不断减小的圆。

总结一下：傅里叶变换是将函数分解到频率不同、幅值恒为 1 的单位圆上；拉普拉斯变换是将函数分解到频率幅值都在变化的圆上。因为拉普拉斯变换的基有两个变量，因此更灵活，适用范围更广。

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