希尔伯特和他的哥廷根数学天团

luyuanhong

希尔伯特和他的哥廷根数学天团

原创  南方 Er  南方 Er  2025 年 08 月 26 日 00:04  广东

在 20 世纪初的欧洲，若说有哪个地方能让数学家们甘愿放弃东京的沙龙、纽约的酒吧，不远万里铁心奔赴，那一定是德国的哥廷根。这座被森林与麦田环绕的美丽小城，因一所大学而成了数学的宇宙中心，而这一切的灵魂，正是大卫·希尔伯特。这位总穿着熨帖西装、眼神像孩童般好奇的数学家，不仅以 23 个问题为数学界立起百年路标，更用他的胸襟与远见，将一群天才聚成一团火，让哥廷根的光芒照亮了整个 20 世纪的科学天空。

哥廷根：数学的流动盛宴

哥廷根的神奇，不在于它有多少古籍或仪器，而在于一种让思想自由碰撞的空气。19 世纪末，当欧洲学界还在为“纯粹数学与应用数学孰高孰低”争论时，希尔伯特已在哥廷根打破了这道壁垒。他刚到哥廷根时，就把自己的课表安排得不拘一格：上午讲数论，下午带学生推导电磁学方程，傍晚还会拉着物理系的索末菲去森林里散步，边走边聊“如何用数学描述原子光谱”。



这种无界的氛围，催生出独特的学术生态：每周四下午，“数学 colloquium”（研讨会）雷打不动——没有固定座位，年轻学者可以直接打断教授的报告，指着黑板说“这里的推导错了”；希尔伯特的私人办公室永远敞开，学生哪怕半夜敲门，他也会泡上咖啡，听对方讲一个“可能很荒谬”的猜想。更妙的是“咖啡馆数学”：城里的罗恩咖啡馆有块专属黑板，谁有新想法就往上写，第二天可能就会看到希尔伯特用红粉笔批注的“这个思路值得试”，或是诺特画的补充示意图。

连高斯当年用过的书桌，都成了灵感圣地。学生们常说：“在哥廷根，连呼吸都带着公式的味道。”这种氛围，让从匈牙利来的冯·诺依曼、从俄国来的柯尔莫哥洛夫、从美国来的维纳，都像找到了学术故乡。在这里，没人问你来自哪里，只问你解决了什么问题。

希尔伯特：既是高峰，也是桥梁

希尔伯特自己就是一座“横跨多领域的数学山脉”。他 26 岁时写的《几何基础》，用公理化方法将欧几里得几何从直观经验中抽象出来，使几何学成为“纯粹依赖逻辑推演的系统”。这本书被爱因斯坦称为“我学几何时的启蒙教材”，连哲学界都在讨论它对真理本质的启示。



但他从不止步于纯粹数学。在代数数论中，他提出的希尔伯特类域理论像一把钥匙，打开了理解数域扩张的大门；在分析学中，他对积分方程的研究，直接为量子力学提供了数学框架——海森堡后来回忆，他创立矩阵力学时，正是翻了希尔伯特的《线性积分方程一般理论基础》，才突然明白“物理量可以用矩阵表示”。甚至在物理学界，希尔伯特几乎与爱因斯坦同时独立推导出广义相对论场方程（1915 年 11 月），但他坚持“物理的荣耀该属于物理学家”，主动将优先权让给了爱因斯坦。

更难得的是他发现天才的嗅觉。1904 年，当 25 岁的诺特带着论文找到他时，因女性身份被哥廷根评议会拒绝聘用，希尔伯特在会议上拍了桌子：“我看不出候选人的性别与她能否胜任讲师有什么关系！大学又不是澡堂！”他甚至提出“以自己的名义开课，让诺特来讲”，硬生生为这位“抽象代数之母”在学界撕开一道口子。对冯·诺依曼这样的少年天才，他则放任其跨界：“这孩子 18 岁写的论文，比我 28 岁时还好，何必用规则捆住他？”

天团成员：各显神通的数学群英

赫尔曼·闵可夫斯基：用几何编织时空

作为希尔伯特的中学同窗，闵可夫斯基堪称“哥廷根的另一个大脑”。他 23 岁就因“数的几何”（用几何方法研究数论）斩获巴黎科学院大奖，而真正让他名垂青史的，是 1908 年那篇《空间与时间》的演讲。当时爱因斯坦的狭义相对论还带着物理直觉的粗糙，闵可夫斯基用“四维时空连续统”将其重构——时间成了第四维，与空间交织成一张时空网，连爱因斯坦初看时都觉得太抽象，后来却坦言“没有闵可夫斯基的数学，相对论就是跛脚的”。



他与希尔伯特的合作像一场双簧：闵可夫斯基擅长从具体问题中提炼几何结构，希尔伯特则擅长用公理将结构固化。两人在哥廷根合开的数学物理课，听课的人挤到走廊里——后来成为量子力学先驱的玻恩，就是在这门课上第一次意识到数学能解释原子世界。

埃米·诺特：让抽象成为力量

诺特在哥廷根的课堂总像思想风暴：她从不照本宣科，而是拿起粉笔就写“今天我们来定义一个新结构”，然后边推导边与学生争论。她的诺特定理看似简单——“每一个连续对称性都对应一个守恒律”，却把物理中的能量守恒、动量守恒，全部纳入数学的对称性框架下，让物理学家们恍然大悟“原来守恒律只是对称性的体现”。



她更革命性的贡献在抽象代数：以前数学家研究群、环、域，总盯着具体例子（比如整数环、置换群），诺特却提出“不管对象是什么，只看它们的运算规则”——这种结构至上的思路，让代数从计算工具变成了描述万物结构的语言。外尔后来回忆：“听诺特讲课，像在迷雾中突然看到路标——原来数学可以这么干净、这么有力量。”

赫尔曼·外尔：数学里的诗人

外尔是希尔伯特最叛逆的学生：他既继承了老师对几何的痴迷（提出外尔群、外尔特征标，成为李群表示论的基石），又总想跳出纯粹数学。当爱因斯坦的广义相对论出来后，全欧洲的数学家都在研究它的数学结构，外尔却盯着“为什么时空度量是对称的”，提出了“规范场理论”——这个当时被爱因斯坦认为“太数学，不符合物理现实”的想法，三十年后成了粒子物理标准模型的核心。



他在哥廷根时，总爱和物理系的泡利争论。泡利脾气冲，常说“你的数学太花哨”，外尔却笑着回：“物理需要数学帮它做梦。”这种跨界思维，正是哥廷根最珍贵的遗产。

约翰·冯·诺依曼：快得让人跟不上的大脑

1926 年，22 岁的冯·诺依曼从布达佩斯来到哥廷根，一见面就给希尔伯特递了篇论文——他用公理化方法重构了集合论，解决了当时困扰希尔伯特的悖论问题。希尔伯特读完后对同事说：“这孩子比我懂集合论。”



在哥廷根的三年，冯·诺依曼像块海绵：白天听希尔伯特讲数学基础，晚上泡在物理系的实验室，跟着玻恩算量子力学的矩阵。别人需要一周推导的量子力学方程，他一晚上就能算出结果，还能指出“这里的矩阵可以对角化，更简单”。后来他去美国造计算机，设计冯·诺依曼架构时，脑子里想的还是哥廷根时学的逻辑公理化，把计算机的运算过程，变成了一套数学规则。

理查德·柯朗与伊萨伊·舒尔：被低估的拼图

柯朗是希尔伯特的学术管家：他整理的《希尔伯特-柯朗数学物理方法》，把希尔伯特散落在课堂上的想法系统化，至今仍是物理系研究生的圣经。他在哥廷根建的应用数学研究所，第一次让用数学解决工程问题成了正经学问——比如他用偏微分方程计算桥梁的振动频率，帮工程师避免了共振灾难。



舒尔则是群表示论的隐形推手。他在哥廷根开的有限群表示课，听众里有外尔、冯·诺依曼，甚至还有后来的物理学家海森堡。他提出的舒尔引理（若有限群的两个不可约表示之间存在非零同态，则该同态必为同构映射），看似简单，却成了连接群论与量子力学的关键——海森堡正是用它证明了量子态的不可区分性。

黄金时代的余温与回响

哥廷根的辉煌在 1930 年代戛然而止。纳粹上台后，犹太学者被驱逐：诺特流亡美国，1935 年因手术并发症去世；冯·诺依曼、外尔、柯朗相继移居美国，成了普林斯顿高等研究院、纽约大学的支柱；舒尔因犹太人身份被剥夺教职，1941 年在贫病中离世。希尔伯特留在哥廷根，1933 年他看着空荡荡的课堂，对纳粹官员说：“你们赶走了最优秀的人，哥廷根的数学完了。”



但火种从未熄灭。诺特的学生范·德·瓦尔登写了《代数学》，让抽象代数传遍世界；冯·诺依曼的计算机理论，催生了信息时代；柯朗研究所成了应用数学的全球中心；而希尔伯特的 23 个问题，至今仍在指引方向——第 8 个问题中的黎曼猜想，第 16 个问题中的微分方程极限环结构，仍是数学家们追逐的目标。

1943 年，希尔伯特在哥廷根去世。他的墓碑上没有头衔，只刻着他 1930 年退休演讲的最后一句话：“我们必须知道，我们必将知道。”



南方 Er