求 K2,3 生成树的个数

wilsony

谁能求解？

wilsony

生成树是否应该是连通（且无圈）图？

wilsony

   这道题似乎不难，但有点概念问题我没想明白，陆老师愿否做下这道题？

luyuanhong

我不知道 K2,3 是什么意思，

我也不知道生成树是什么意思。

wilsony

K2,3应该是指由2个顶点和3个顶点的集合构成的完全二分图。
按书上的叙述，如果图G的生成子图T是树，则称T是G的一颗生成树。

王守恩

\(好像有个公式, k_{A,B}=A^{B-1}*B^{A-1}。据此, k_{2,3}=2^{3-1}*3^{2-1}=12\)

luyuanhong

生成子图是什么意思？

wilsony

陆老师，摘抄书上叙述：

wilsony

陆老师愿做下这道题吗？

王守恩

求 K2,3 生成树的个数。

要计算完全二分图 K_{2,3} 的生成树个数, 我们可以使用以下两种方法：

方法一：使用基尔霍夫矩阵树定理（Kirchhoff's Matrix Tree Theorem）

基尔霍夫定理指出：一个图的生成树个数等于其拉普拉斯矩阵的任意一个代数余子式的值。
......

方法二：使用 Cayley 公式的推广

对于完全二分图 K_{m,n}, 生成树个数 = m^{n-1} \cdot n^{m-1},

所以对于 K_{2,3},  m = 2, n = 3,

生成树个数 = 2^{3-1} \cdot 3^{2-1} = 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12 。

结论。因此, K_{2,3} 的生成树个数为 12。