高等代数：相抵矩阵与相似矩阵是什么关系？

luyuanhong

高等代数：相抵矩阵与相似矩阵是什么关系？

原创  废主流  酷学在线课堂  2025 年 08 月 28 日 20:39 广东

相似与相抵是矩阵的二元关系，其中相抵与初等行变换和初等列变换有关，相似与可对角化有关，相似的对象是方阵，而相抵的对象则是更一般的矩阵。两个矩阵相似，那么它们肯定相抵，即相似是更严格的一种关系。

定义 1（矩阵的相抵）：

对于数域 K 上的 s×n 矩阵 A 和 B ，如果从 A 经过一系列初等行变换和初等列变换能变成矩阵 B ，那么称 A 与 B 是相抵的。



定理 2 ：数域 K 上 s×n 矩阵 A 与 B 相抵当且仅当它们的秩相等。

证明：必要性是显然的，A 通过初等行变换和初等列变换能化为 B ，而初等行变换和初等列变换不改变矩阵的秩，所以 A 与 B 矩阵的秩相等。

充分性则是，当 A 与 B 的秩相等，则它们的相抵标准形相等，又相抵是一种等价关系，具有对称性和传递性，所以 A 与 B 相抵。

等价关系往往对应着不变量，它代表着这个等价关系决定了什么性质。

定义 2（不变量、完全不变量）：设集合上有一个等价关系，一种量或一种表达式如果对于同一个等价类里的元素是相等的，那么这种量或表达式是一个不变量；恰好能完全决定等价类的一组不变量称为完全不变量。

显然根据定理 2 知道矩阵的秩是相抵关系下的完全不变量。

现在说说矩阵的相似。



相似关系的不变量除了方阵的秩，还有方阵的行列式和迹。相似关系可以定义一个方阵的可对角化。主对角线以外的元素全为 0 的矩阵是对角矩阵，如果一个矩阵相似于对角矩阵，那么它就可对角化。



酷学在线课堂