\(C_{ai}\)问题之\(AI\)证明

蔡家雄

平方剩余奇质数问题

设 \(4d+1\) 是奇质数，且 \(4d+1\) 不为 \(1+4^r*(2t+1)^2\) ，

设 \(n^2\)  \(mod\)  \((4d+1)=\)  \(p\) 是奇质数，

若 \(2*(4d+1)*k -p\) 是质数 或 \(2*(4d+1)*k+p\) 是质数，

则 \(x^2 - (4d+1)*y^2= ±p\) 必有正整数解，，

则 \(x^2 - (4d+1)*y^2= ±(2*(4d+1)*k -p)\) 必有正整数解，，

则 \(x^2 - (4d+1)*y^2= ±(2*(4d+1)*k+p)\) 必有正整数解，，



模 29 的平方剩余奇质数 p= 5, 7, 13, 23 .

模 41 的平方剩余奇质数 p= 5, 23, 31, 37 .

模 53 的平方剩余奇质数 p= 7, 11, 13, 17, 29, 37, 43, 47 .

模 61 的平方剩余奇质数 p= 3, 5, 13, 19, 41, 47 .

模 73 的平方剩余奇质数 p= 3, 19, 23, 37, 41, 61, 67, 71 .

模 89 的平方剩余奇质数 p= 5, 11, 17, 47, 53, 67, 71, 73, 79 .

模 97 的平方剩余奇质数 p= 3, 11, 31, 43, 47, 53, 61, 73, 79, 89 .



设 奇质数 D＝a^2＋4^r*(2t+1)^2，且 a 与 (2t+1) 都是 >=3 的奇数，

则 素数模 D 的平方剩余奇质数，必 含有奇数 a 与 (2t+1) 的素因子，，，

蔡家雄

设 1+4*b^2 是质数，且 b 是质数，

则 x^2 - (1+4*b^2)*y^2=b 无解，

https://www.doubao.com/thread/w20cf033fb7495d86

蔡家雄

蔡氏完全循环节问题的证明

设 k 为非负整数，

若 30k+7 和 120k+29 都是素数，

则 10 是模素数 120k+29 的原根。

https://www.doubao.com/thread/wf102b768c9ce2079

蔡家雄

蔡氏偶数分拆

设 2n >=64，且 p1, p2=2n -p1, p3=2n -p1 -30 , p4=p1+30 都是素数，

则 2n -30=p1+p3 , 2n=p1+p2=p3+p4 , 2n+30=p2+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

蔡氏偶数分拆

设 2n >=280，且 p1, p2=2n -p1, p3=2n -p1 -210 , p4=p1+210 都是素数，

则 2n -210=p1+p3 , 2n=p1+p2=p3+p4 , 2n+210=p2+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。


蔡氏偶数奇数分拆

设 2n+15 >=49，且 p1, p2, p3=2*p2 -15, p4=2*p2+15 都是素数，

则 2n=p1+p3 与 2n+15=p1+2*p2 及 2n+30=p1+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

蔡氏偶数奇数分拆

设 2n+105 >=169，且 p1, p2, p3=2*p2 -105, p4=2*p2+105 都是素数，

则 2n=p1+p3 与 2n+105=p1+2*p2 及 2n+210=p1+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

https://www.doubao.com/thread/w78c5d9dc72f6657c

蔡家雄

同邻距的三生素数，

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，

最小解：p=7，  ( p, p+30, p+100 ) 与 ( 3p+130, 3p+160, 3p+230 )

最小解：p=11，( p, p+20, p+120 ) 与 ( 3p+140, 3p+160, 3p+260 )

最小解：p=13，( p, p+10, p+30 ) 与 ( 3p+40, 3p+50, 3p+70 )

最小解：p=17，( p, p+150, p+560 ) 与 ( 3p+710, 3p+860, 3p+1270 )

最小解：p=19，( p, p+40, p+180 ) 与 ( 3p+220, 3p+260, 3p+400 )

最小解：p=23，(  p, p+20, p+90 ) 与 ( 3p+110, 3p+130, 3p+200 )

最小解：p=23，(  p, p+30, p+260 ) 与 ( 3p+290, 3p+320, 3p+550 )

最小解：p=29，( p, p+30, p+80 ) 与 ( 3p+110, 3p+140, 3p+190 )

最小解：p=29，( p, p+30, p+110 ) 与 ( 3p+140, 3p+170, 3p+250 )

最小解：p=29，( p, p+30, p+740 ) 与 ( 3p+770, 3p+800, 3p+1510 )

最小解：p=31，( p, p+30, p+160 ) 与 ( 3p+190, 3p+220, 3p+350 )

最小解：p=31，( p, p+30, p+490 ) 与 ( 3p+520, 3p+550, 3p+1010 )

最小解：p=37，( p, p+30, p+520 ) 与 ( 3p+550, 3p+580, 3p+1070 )

最小解：p=37，( p, p+30, p+1150 ) 与 ( 3p+1180, 3p+1210, 3p+2330 )

最小解：p=41，( p, p+20, p+150 ) 与 ( 3p+170, 3p+190, 3p+320 )

最小解：p=43，( p, p+30, p+250 ) 与 ( 3p+280, 3p+310, 3p+530 )

最小解：p=47，( p, p+80, p+270 ) 与 ( 3p+350, 3p+430, 3p+620 )

最小解：p=53，( p, p+30, p+620 ) 与 ( 3p+650, 3p+680, 3p+1270 )

最小解：p=59，( p, p+30, p+350 ) 与 ( 3p+380, 3p+410, 3p+730 )

最小解：p=61，( p, p+40, p+600 ) 与 ( 3p+640, 3p+680, 3p+1240 )

最小解：p=67，( p, p+30, p+400 ) 与 ( 3p+430, 3p+460, 3p+830 )

最小解：p=71，( p, p+30, p+920 ) 与 ( 3p+950, 3p+980, 3p+1870 )

最小解：p=73，( p, p+30, p+1420 ) 与 ( 3p+1450, 3p+1480, 3p+2870 )

最小解：p=79，( p, p+30, p+280 ) 与 ( 3p+310, 3p+340, 3p+590 )

最小解：p=83，( p, p+30, p+290 ) 与 ( 3p+320, 3p+350, 3p+610 )

最小解：p=89，( p, p+60, p+2450 ) 与 ( 3p+2510, 3p+2570, 3p+4960 )

最小解：p=97，( p, p+60, p+880 ) 与 ( 3p+940, 3p+1000, 3p+1820 )

任意 固定 同邻距的三生素数（六元素数组），只要有一个解，就必有：无穷多个解 ！！！


同邻距的三连三生素数，

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，


(222337, 222367, 222437) 与 (667141, 667171, 667241) 及 (2001553, 2001583, 2001653)

(5021, 5171, 5581) 与 (15773, 15923, 16333) 及 (48029, 48179, 48589)

https://www.doubao.com/thread/w85149a538a2b1318



同邻距的三连三生素数，

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，

最小解：p=5，( 5, 7, 17 ) , ( 29, 31, 41 ) , ( 101, 103, 113 )。

当 p=7 时，

当 p=11 时，( 11, 23, 37 ) , ( 71, 83, 97 ) , ( 251, 263, 277 )。

当 p=13 时，

当 p=17 时，

当 p=19 时，( 19, 59, 199 ) , ( 277, 317, 457 ) , ( 1051, 1091, 1231 )。

当 p=23 时，

当 p=29 时，


蔡家雄猜想：对任一大于5的素数p，

同邻距的三连三生素数，至少有一组九元素数组的解。

设 0 < a < b 是偶数，

求 九元素数组（ p, p+a, p+b, 3p+a+b, 3p+2a+b, 3p+a+2b, 9p+4a+4b, 9p+5a+4b, 9p+4a+5b ）的解。

蔡家雄

蔡氏完全循环节问题

设 k , r 为非负整数，

若 30k+7 与 (30k+7)^(4r+1)*4+1 都是素数，

则 10 是素数 (30k+7)^(4r+1)*4+1 的原根。


设 k , r 为非负整数，

若 30k+7 与 (30k+7)^(4r+1)*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^(4r+1)*4+1 的原根。


若 30k+7 与 (30k+7)^1*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^1*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^5*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^5*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^9*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^9*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^13*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^13*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^17*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^17*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^21*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^21*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^25*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^25*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^29*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^29*4+1 的原根。

蔡家雄

蔡氏完全循环节问题的证明

设 k , r 为非负整数，

若 30k+7 与 (30k+7)^(4r+1)*4+1 都是素数，

则 10 是素数 (30k+7)^(4r+1)*4+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/wce01dec41eb9bfed

蔡家雄

设 n 为正整数，

若 2*10^n+29 是素数，则 10 是这个素数的原根。

设 n 为正整数，

若 8*10^n+17 是素数，则 10 是这个素数的原根。

设 n 为正整数，

若 4*10^n+19 是素数，则 10 是这个素数的原根。



若 2*10^n - 51 是素数，则 10 是这个素数的原根。

若 2*10^n - 153 是素数，则 10 是这个素数的原根。


若 8*10^n - 19 是素数，则 10 是这个素数的原根。

若 8*10^n - 21 是素数，则 10 是这个素数的原根。

若 8*10^n - 33 是素数，则 10 是这个素数的原根。

若 8*10^n - 51 是素数，则 10 是这个素数的原根。

若 8*10^n - 57 是素数，则 10 是这个素数的原根。

若 8*10^n - 63 是素数，则 10 是这个素数的原根。


若 4*10^n - 33 是素数，则 10 是这个素数的原根。

若 4*10^n - 21 是素数，则 10 是这个素数的原根。

若 4*10^n - 11 是素数，则 10 是这个素数的原根。

若 4*10^n - 17 是素数，则 10 是这个素数的原根。

若 4*10^n - 23 是素数，则 10 是这个素数的原根。



若 16^k+3 是素数，则 10 是素数 16^k+3 的原根。

若 16^k+7 是素数，则 10 是素数 16^k+7 的原根。

若 16^k+13 是素数，则 10 是素数 16^k+13 的原根。

若 16^k+31 是素数，则 10 是素数 16^k+31 的原根。

若 16^k+81 是素数，则 10 是素数 16^k+81 的原根。

蔡家雄

蔡氏完全循环节问题的证明

若 3^(2n)+2^(2n+1) 是素数，

则 10 是素数 3^(2n)+2^(2n+1) 的原根。

https://www.doubao.com/thread/w3279f93c3b340ac0

蔡家雄

蔡氏完全循环节等差九生素数有无穷多组 以及 AI 的分析，

10是如下等差9生素数(公差9240)的原根，即：这些素数倒数具有最大循环节长！！！

1---(95339,104579,113819,123059,132299,141539,150779,160019,169259)

2---(7827167,7836407,7845647,7854887,7864127,7873367,7882607,7891847,7901087)

3---(9195167,9204407,9213647,9222887,9232127,9241367,9250607,9259847,9269087)

4---(32288903,32298143,32307383,32316623,32325863,32335103,32344343,32353583,32362823)

5---(59941697,59950937,59960177,59969417,59978657,59987897,59997137,60006377,60015617)

6---(72980177,72989417,72998657,73007897,73017137,73026377,73035617,73044857,73054097)

7---(77003567,77012807,77022047,77031287,77040527,77049767,77059007,77068247,77077487)

8---(121526753,121535993,121545233,121554473,121563713,121572953,121582193,121591433,121600673)

9---(121535993,121545233,121554473,121563713,121572953,121582193,121591433,121600673,121609913)

10---(171184589,171193829,171203069,171212309,171221549,171230789,171240029,171249269,171258509)

—— AI 的分析：https://www.doubao.com/thread/wccef73d8fb76ce31