[原创] 单摆运动积分与摆线运动积分

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科学发展背景：伽利略·伽利雷(1564年2月15日—1642年1月8日)是意大利天文学家，物理学家和工程师,欧洲近代自然科学的创始人。
伽利略研究了速度和加速度，重力和自由落体，相对论，惯性，小球运动原理，并从事应用科学和技术的研究，描述了摆的性质和“静水平衡”，发明了温度计和各种军事罗盘
并使用用于天体科学观测的望远镜。他对观测天文学的贡献包括使用望远镜对金星相位的确认，发现木星的四颗最大卫星，星环的观测和黑子的分析。
伽利略是第一个把实验引进力学的科学家,他利用实验和数学相结合的方法确定了一些重要的力学定律............
1582年前后，他经过长久的实验观察和数学推算，得到了摆的等时性定律（近似的）离开比萨大学期间，他深入研究古希腊学者欧几里得，阿基米德等人的著作。
伽利略对摆的运动作过长期的观察和研究。在后来的研究中指出单摆的周期和摆长度的平方根成正比。这一规律为后来计时机构（摆钟）的设计提供了根据，
单摆周期性质的发现：伽利略由观察到教堂悬灯的摆动对摆进行实验研究，发现单摆的周期与摆长的平方根成正比，而与振幅大小和摆锤重量无关，
这个规律的发现为此后的振动理论和机械计时器件的设计方案建立了基础。

1656年惠更斯发明了等时摆动的摆钟，这在1658年的《时钟》中有记述。这也造就了一些机会让他发现摆线等时性，研究渐屈线（evolute）和摆动中心（center of oscillation）的理论。
为适应当时天文和航海发展的需要，重力齿轮式的时计呕待改进，1656年开始,惠更斯首先将摆引入时钟，发明了摆钟并发表了《摆钟》(1658)及《摆式时钟或用于时钟上的摆的运动的几何证明》(1673)。
后者是他的代表作之一，体现了他以全新的理论给出数学上的完全解从而解决技术设计难题的特点，例如，书中提出了著名的单摆周期公式。而后他从证明摆线的几何性质开始，进而研究在机械上的应用
利用摆线理论设计出严格等时的摆钟结构（包括擒纵器的设置）。他提出了复摆的完整理论，并且导出与复摆振荡中心有关的一些物理问题；这是在力学上第一次求解在已知力的作用下受约束的质点系问题。
他还用摆求出重力加速度的准确值，并建议用秒摆的长度作为自然长度标准。他在这本书和另一篇著作《关于运动及离心力》中，提出过有关圆周运动及离心力的若干重要结果。
包括向心加速度概念和向心加速度公式，这有助于牛顿得出万有引力定律。他又研究了简谐运动及弹簧振动，并用游丝代替挂摆,设计出许多种钟表等时结构(例如海上用以测量地理经度的怀表等)
在解决以上这些问题时他还提出了由若干重物组成的机械系统在重力作用下运动时系统的重心不可能超过原来高度，这是机械能守恒原理的最初表述形式之一................

摆的计时有效性,贯穿了人类几百年的历史发展,可谓历史上极其重要的科学研究课题.............

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单摆运动积分问题中，有一个数学不能简单积分的积分问题..............

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2秒单摆45度角 数值算的积分数据动态...........

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前面计算得知：单摆摆动幅度大小不同，其所用时间也不同，因此单摆不具有严密的等时性..........

从物理学知识得知：摆线重力运动的小球在不同幅度具有等时性，摆线因此得名....... 下面着重研究摆线的各种性质，后续试图推出摆线等时性质..........

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摆线和反向摆线的曲线斜率，长度，曲率公式推导：

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反向摆线的开或屈线公式推导：





摆线的奇妙之处在于：它的开屈线还是和它一样的曲线，只不过移动了一个象限.............

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[原创] 重力作用极速下滑曲线的形状 严密数学推导

当年的世界难题 费了不少时间去思考问题 终于还是自己解决了  光运动的最短时定律证明不算太难 时间有限 留待以后再述............

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原创成果    震惊物理数学界 ..............  光在介质 (各方向大小) 的运行曲线 就是小球在重力作用下极速下滑的 (各数学曲线) 汇总 ..............

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根据斜面加速度及楼上摆线运动积分可做准确的运动动态.....可见: 小球摆线下滑所用时间  要短于各斜面小球下滑所用时间.........