一种含重边的5节点图四色着色方案验证及其理论意义探析

朱明君

一种含重边的5节点图四色着色方案验证及其理论意义探析

摘要

四色定理指出，任意平面图均可使用四种颜色实现着色，使得相邻顶点颜色不同。本文针对一个含重边的5节点10边图（与非平面完全图K5存在结构关联），设计并验证了一套四色着色方案。验证结果表明，该方案严格满足“相邻顶点颜色不同”的核心要求。图论中，边是节点关联关系的抽象表达，与几何形态无关，本图与K5的本质差异在于：K5为5节点两两单边相连（10条独特关联边），而本图为部分节点间多重关联（6组独特关联边含4条重边）。这一差异使其具备平面化拓扑可能，仅需四色即可着色，为理解“拓扑本质决定色数”提供了具象案例，打破了仅凭节点数与边数判断色数的惯性思维。

关键词

四色定理；图着色；K5；重边；图论抽象性

1 引言

四色定理是图论的基石性结论，核心断言为“任何平面图的色数不超过4”。完全图K5作为最小的非平面图，以“5个节点两两单边相连（共10条边）”为特征，其色数为5，是四色定理适用边界的经典例证。传统研究中，常因K5的“5节点、10边”特征，形成“高连接密度必对应高色数”的惯性认知。

需明确的是，图论中“边”的核心属性是“节点间的关联关系”，与几何层面的直弯、位置等形态无关——可视化中对边的形态设计仅为避免交叉，不改变图的抽象结构。本文研究对象为一个5节点10边图，通过重边构建节点关联，其边数与K5一致，但关联模式不同。本文旨在验证：此类含重边的高边数图是否可通过四色着色？并基于图论抽象性本质，解析其与K5的色数差异根源，深化对四色定理与图拓扑性质的理解。

2 图形结构定义

2.1 节点设定

图包含5个顶点，标记为a、b、c、d、e（节点标记仅为区分，无几何意义）。

2.2 边集定义

图的边集共计10条，依据“节点关联关系”与“数量属性”分类，不涉及任何几何形态描述，具体如下：

- 独特关联边（6组）：构成节点间的基础关联关系，包括环型关联5组（a-b、b-c、c-d、d-e、e-a）和独立关联1组（b-d）；
- 重边（4条）：在已有独特关联上增加的关联，包括a-c间重边2条、a-d间重边2条。

注：重边的本质是“同一对节点间关联关系的多重化”，不改变“两节点相邻”的核心事实，仅增加边的数量；可视化中对边的形态划分（如内外、直弯）仅为呈现便利，不具备图论定义价值。

3 着色方案设计与验证

3.1 着色方案设计

采用颜色1、2、3、4对5个节点进行着色，具体分配如下：

- 节点a：颜色1
- 节点b：颜色3
- 节点c：颜色4
- 节点d：颜色2
- 节点e：颜色4

3.2 合规性验证

验证标准为“任意存在边关联的节点（即相邻节点）颜色不同”。基于边集定义逐条检验如下：

1. 边a-b：颜色1与3，检验合格；
2. 边b-c：颜色3与4，检验合格；
3. 边c-d：颜色4与2，检验合格；
4. 边d-e：颜色2与4，检验合格；
5. 边e-a：颜色4与1，检验合格；
6. 边b-d：颜色3与2，检验合格；
7. a-c间第1条边：颜色1与4，检验合格；
8. a-c间第2条边：颜色1与4，检验合格；
9. a-d间第1条边：颜色1与2，检验合格；
10. a-d间第2条边：颜色1与2，检验合格。

全部10条边均满足相邻节点颜色不同的要求，着色方案验证通过。

4 理论对比分析：基于图论抽象性的本质差异

本案例的理论价值，核心在于以K5为参照，揭示“图的色数由拓扑本质决定，而非边数或节点数”的规律，这一规律建立在图论的抽象性基础上。

4.1 传统认知与图论本质的澄清

传统对K5的认知聚焦于“5节点、10边”，但未深入其抽象结构核心：K5的10条边是“5个节点两两间的独特关联”，即任意两节点均存在且仅存在1条边，这种“全节点独特关联”使其无法平面嵌入，色数必然为5。而此前对“边的几何形态”的讨论，实质是混淆了“抽象关联”与“可视化呈现”，属于非图论层面的偏差——图的本质是“节点与关联的集合”，与几何形态无关。

4.2 本图与K5的核心拓扑差异

本图虽同样拥有5个节点、10条边，但其关联结构与K5存在本质不同：

- 关联类型不同：K5为“全节点独特关联”，本图为“部分节点独特关联+重边”，仅包含6组独特关联（无b-e、c-e等关联）；
- 拓扑性质不同：重边不增加节点间的“相邻维度”，仅叠加关联数量，本图的独特关联结构可实现平面嵌入，属于平面图或近似平面图范畴；
- 着色逻辑不同：着色仅依赖“是否相邻”，与“相邻边数”无关，本图的相邻关系复杂度远低于K5，自然可通过四色着色。

这一差异印证了：四色定理的核心约束是“平面性”这一拓扑属性，而平面性由“独特关联的排布”决定，与边的总数量、几何形态均无直接关联。

5 结论

本文基于图论的抽象性本质，独立完成了含重边5节点图的四色着色方案设计与验证，方案完全符合合规性要求。

更重要的是，通过与K5的对比分析，明确了“图的色数由独特关联构成的拓扑结构决定”这一核心结论：K5的高色数源于“全节点独特关联”的非平面拓扑，而本图通过“重边替代部分独特关联”，形成可平面化结构，故四色即可满足需求。这一案例打破了“高边数必对应高色数”的惯性思维，深化了对四色定理与图论抽象性的理解——在图论研究与应用中，唯有剥离几何形态干扰，聚焦节点关联的拓扑本质，才能精准判断图的性质。这一认知为复杂网络（如通信网络、社交网络）的着色优化提供了理论参照。

朱明君

①，画出5节点环，分别按顺时针对应a，b，c，d，e，
②，
一，a从外围连接到c，
二，a从外围连接到d，
三，a直线连接到d，
四，b直线连接到d，
图已全成
着色，1，2，3，4对应4种颜色，
a（1），
b（3），
c（4），
e（2），
d（4），

K5四色图

朱明君

K5完全图着色，完全图5节点，10条边，
传统守旧人连接法，着色需5种颜色
天才的人连接法，着色这需4种颜色


5个节点a，b，c，d，e，顺时针
内3条，①ad连接，②db连接，③eb连接，注①ac没有连接，②ec没有连接
外2条，①ad，②ac，
环边5条，
共计10条
这个图就是5K4色图，
a1，b3，c4，d2，e4


①，画出5节点环，分别按顺时针对应a，b，c，d，e，
②，
一，a从外围连接到c，
二，a从外围连接到d，
三，a直线连接到d，
四，e直线连接到d，
图已全成
着色，1，2，3，4对应4种颜色，
a（1），
b（3），
c（4），
e（2），
d（4），

K5四色图

朱明君

是的，完全正确。

一句话总结：
每个顶点的度数都是 n-1 的 n 阶图一定是完全图 K_n。

\boxed{K_n}

朱明君

一句话，每个顶点都是有n-1个顶点度数都是完全图

朱明君

是的，完全正确。

一句话总结：
每个顶点度数都是 n-1 的 n 阶图是完全图 K_n，其色数为 n。

\boxed{K_n}