朱容仟平方数猜想回复贴

yangchuanju · 发表于 2025-9-27 05:56

【转载】朱容仟平方数猜想贴

猜想：[√(ab)]^2 - ab 的值为完全平方数
http://www.mathchina.com/bbs/for ... ead&tid=2065296
1楼朱容仟发表于 2025-9-25 02:43
- 核心猜想：[√(ab)]^2 - ab 的值为完全平方数。
- 条件1：[√(ab)] 为向上取整。
- 条件2

a) 与 b 为奇数。
- 条件3：|n - √(4ab)| < 2，其中 a + b = n。
举例
10479+10205=20684
20684-√(4×10479×10205)≈1.8149<2
［√(10479×10205)］≈10341.09向上取整为10342
√(10342^2-10479×10205)=137

yangchuanju · 发表于 2025-9-27 05:57

本帖最后由 yangchuanju 于 2025-9-27 06:41 编辑

对于平方差公式(x+y)*(x-y)=x^2-y^2，
开平方得[(x+y)*(x-y)]^0.5=(x^2-y^2)^0.5，
当y相对于x很小时有[(x+y)*(x-y)]^0.5≈x，
[(x+y)*(x-y)]^0.5一般不是整数，可以向上取整，在y相对于x很小时认为它就是x。
朱容仟猜想[√(ab)]^2 - ab 的值为完全平方数，
在这里可以取定a=x+y, b=x-y，若认为取整式的平方等于x^2，又ab=(x+y)*Ix-y)=x^2-y^2，
则有[√(ab)]^2 - ab=x^2-(x^2-y^2)=y^2，
在这里y相对于x必须是较小的数。

yangchuanju · 发表于 2025-9-27 05:57

本帖最后由 yangchuanju 于 2025-9-27 06:42 编辑

令x=10，y=1,2,3,4,5有(x+y)*(x-y)=99,96,91,84,75；对于99,96,91,84开平方并向上取整得10，对于75开平方再向上取整不再等于10；14/6=2.333；
令x=100，y=1,2,…14有(x+y)*(x-y)=9999,9996,…9804,开平方并向上取整得100，对于y=15,(x+y)*(x-y)=9775开平方再向上取整不再等于100；114/86=1.326；
令x=1000，y=1,2,…44有(x+y)*(x-y)=999999,999996,…998064,开平方并向上取整得1000，对于y=45,(x+y)*(x-y)=997975开平方再向上取整不再等于1000，1044/956=1.092；…
改令x=20,30,40,…90时y最大可取至6,7,8,9,10,11,12,13；26/14,37/23,48/32,…103/77=1.857,1.609,1.5,…1.338；
随着x的增大，允许的比值越来越小，最终比值趋近于1！

x 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1000 10000
x+y 14 26 37 48 59 70 81 92 103 114 1044 10141
x-y 6 14 23 32 41 50 59 68 77 86 956 9859
(x+y)/(x-y) 2.333 1.857 1.609 1.500 1.439 1.400 1.373 1.353 1.338 1.326 1.092 1.029

yangchuanju · 发表于 2025-9-27 06:09

本帖最后由 yangchuanju 于 2025-9-27 06:31 编辑

(x^2-y^2)^0.5
y\x 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1 9.95 19.97 29.98 39.99 49.99 59.99 69.99 79.99 89.99 99.99
2 9.80 19.90 29.93 39.95 49.96 59.97 69.97 79.97 89.98 99.98
3 9.54 19.77 29.85 39.89 49.91 59.92 69.94 79.94 89.95 99.95
4 9.17 19.60 29.73 39.80 49.84 59.87 69.89 79.90 89.91 99.92
5 8.66 19.36 29.58 39.69 49.75 59.79 69.82 79.84 89.86 99.87
6 8.00 19.08 29.39 39.55 49.64 59.70 69.74 79.77 89.80 99.82
7 7.14 18.73 29.17 39.38 49.51 59.59 69.65 79.69 89.73 99.75
8 6.00 18.33 28.91 39.19 49.36 59.46 69.54 79.60 89.64 99.68
9 4.36 17.86 28.62 38.97 49.18 59.32 69.42 79.49 89.55 99.59
10 0.00 17.32 28.28 38.73 48.99 59.16 69.28 79.37 89.44 99.50
11 #NUM! 16.70 27.91 38.46 48.77 58.98 69.13 79.24 89.33 99.39
12 #NUM! 16.00 27.50 38.16 48.54 58.79 68.96 79.09 89.20 99.28
13 #NUM! 15.20 27.04 37.83 48.28 58.57 68.78 78.94 89.06 99.15
14 #NUM! 14.28 26.53 37.47 48.00 58.34 68.59 78.77 88.90 99.02
15 #NUM! 13.23 25.98 37.08 47.70 58.09 68.37 78.58 88.74 98.87

yangchuanju · 发表于 2025-9-27 06:14

本帖最后由 yangchuanju 于 2025-9-27 06:29 编辑

(x^2-y^2)^0.5
y\x 10 100 1000 10000 100000 1000000
1 9.95 99.99 999.999 10000.0000 100000.00000 1000000.00000
2 9.80 99.98 999.998 9999.9998 99999.99998 1000000.00000
3 9.54 99.95 999.995 9999.9995 99999.99996 1000000.00000
4 9.17 99.92 999.992 9999.9992 99999.99992 999999.99999
5 8.66 99.87 999.987 9999.9987 99999.99988 999999.99999
6 8.00 99.82 999.982 9999.9982 99999.99982 999999.99998
7 7.14 99.75 999.975 9999.9975 99999.99976 999999.99998
8 6.00 99.68 999.968 9999.9968 99999.99968 999999.99997
9 4.36 99.59 999.959 9999.9959 99999.99960 999999.99996
10 0.00 99.50 999.950 9999.9950 99999.99950 999999.99995
11 #NUM! 99.39 999.939 9999.9939 99999.99940 999999.99994
12 #NUM! 99.28 999.928 9999.9928 99999.99928 999999.99993
13 #NUM! 99.15 999.915 9999.9915 99999.99916 999999.99992
14 #NUM! 99.02 999.902 9999.9902 99999.99902 999999.99990
15 #NUM! 98.87 999.887 9999.9887 99999.99888 999999.99989
44 #NUM! 89.80 999.032 9999.9032 99999.99032 999999.99903
45 #NUM! 89.30 998.987 9999.8987 99999.98987 999999.99899
140 —— —— 990.152 9999.0200 99999.90200 999999.99020
141 —— —— 990.010 9999.0059 99999.90059 999999.99006
142 —— —— 989.867 9998.9917 99999.89918 999999.98992
446 —— —— 895.033 9990.0492 99999.00542 999999.90054
447 —— —— 894.534 9990.0046 99999.00095 999999.90010
448 —— —— 894.034 9989.9598 99998.99647 999999.89965
1413 —— —— —— —— 99990.01666 999999.00172
1414 —— —— —— —— 99990.00252 999999.00030
1415 —— —— —— —— 99989.98837 999998.99889

yangchuanju · 发表于 2025-9-27 06:16

差值计算表
(ROUNDUP((ab)^0.5,0))^2-ab
a\b 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101
1 5 4 5 8 13 3 10 0 9 20
3 3 1 7 21 16 13 12 13 16 21
5 9 16 14 20 1 19 6 36 29 24
7 4 22 8 2 4 14 32 9 39 22
9 1 7 10 31 25 27 37 0 22 52
11 0 25 20 33 15 5 3 9 23 45
13 1 16 38 43 13 48 38 36 42 56
15 4 9 19 10 19 46 24 10 4 6
17 9 4 2 32 33 52 18 67 53 47
19 16 1 36 5 55 66 20 61 35 17
21 25 0 25 39 18 15 30 63 25 88
23 3 1 16 18 52 41 48 73 23 78
25 14 4 9 64 21 75 74 0 29 76
27 27 9 4 49 67 34 19 22 43 82
29 5 16 1 36 42 80 57 52 65 96
31 20 25 0 25 19 45 8 90 95 5
33 37 36 1 16 81 12 58 31 22 31
35 15 49 4 9 64 74 15 81 64 65
37 34 7 9 4 49 47 77 28 114 107
39 12 22 16 1 36 22 40 90 51 30
41 33 39 25 0 25 100 5 43 113 84
43 11 58 36 1 16 81 83 117 56 13
45 34 16 49 4 9 64 54 76 1 79
47 12 37 64 9 4 49 27 37 79 14
49 37 60 2 16 1 36 2 0 30 92
51 15 18 19 25 0 25 100 94 120 33
53 42 43 38 36 1 16 81 63 77 123
55 20 1 59 49 4 9 64 34 36 70
57 49 28 82 64 9 4 49 7 142 19
59 27 57 20 81 16 1 36 121 107 125
61 5 15 45 100 25 0 25 100 74 80
63 36 46 72 18 36 1 16 81 43 37
65 14 4 10 39 49 4 9 64 14 159
67 47 37 39 62 64 9 4 49 144 122
69 25 72 70 87 81 16 1 36 121 87
71 3 30 8 5 100 25 0 25 100 54
73 38 67 41 32 121 36 1 16 81 23
75 16 25 76 61 19 49 4 9 64 169
77 53 64 14 92 42 64 9 4 49 144
79 31 22 51 10 67 81 16 1 36 121
81 9 63 90 43 94 100 25 0 25 100
83 48 21 28 78 123 121 36 1 16 81
85 26 64 69 115 21 144 49 4 9 64
87 4 22 7 33 52 22 64 9 4 49
89 45 67 50 72 85 47 81 16 1 36
91 23 25 95 113 120 74 100 25 0 25
93 1 72 33 31 18 103 121 36 1 16
95 44 30 80 74 55 134 144 49 4 9
97 22 79 18 119 94 12 2 64 9 4
99 0 37 67 37 135 45 27 81 16 1
101 45 88 5 84 33 80 54 100 25 0
103 23 46 56 2 76 117 83 121 36 1
105 1 4 109 51 121 156 114 144 49 4
107 48 57 47 102 19 34 147 169 64 9
109 26 15 102 20 66 75 5 7 81 16
111 4 70 40 73 115 118 40 34 100 25
113 53 28 97 128 13 163 77 63 121 36
115 31 85 35 46 64 41 116 94 144 49
117 9 43 94 103 117 88 157 127 169 64
119 60 1 32 21 15 137 15 162 196 81
121 38 60 93 80 70 15 58 0 14 100
123 16 18 31 141 127 66 103 37 43 121
125 69 79 94 59 25 119 150 76 74 144
127 47 37 32 122 84 174 8 117 107 169
129 25 100 97 40 145 52 57 160 142 196
131 3 58 35 105 43 109 108 205 179 225
133 58 16 102 23 106 168 161 43 218 23
135 36 81 40 90 4 46 19 90 36 54
137 14 39 109 8 69 107 74 139 77 87
139 71 106 47 77 136 170 131 190 120 122

yangchuanju · 发表于 2025-9-27 06:22

本帖最后由 yangchuanju 于 2025-9-27 14:33 编辑

令b=11， a=5-21时差是平方数9,4,1,0,1,4,9,16,25；当a=b时差等于0，向前、向后渐增，且后部比前部多两个；
令b=21， a=11-35时差是平方数25,16,9,4,1,0,1,4,9,16,25,36,49；当a=b时差等于0，向前、向后渐增，且后部比前部多两个；
……
令b=101， a=75-131时差是平方数169,…25,16,9,4,1,0,1,4,9,16,25,36,49,…225；当a=b时差等于0，向前、向后渐增，且后部比前部多两个；
令b=1001,10001,…平方数个数见下表——
当a和b都较小时，b/a最小和a最大/b都在1.3至2之间；当a和b逐渐增大后，两个比值到越来越小，并逐渐向1趋近！

b a最小 a最大 a最小差 a最大差 b/a最小 a最大/b
11 5 21 9 25 2.2000 1.9091
21 11 35 25 49 1.9091 1.6667
31 19 47 36 64 1.6316 1.5161
41 25 61 64 100 1.6400 1.4878
51 33 73 81 121 1.5455 1.4314
61 41 85 100 144 1.4878 1.3934
71 51 95 100 144 1.3922 1.3380
81 59 107 121 169 1.3729 1.3210
91 67 119 144 196 1.3582 1.3077
101 75 133 169 225 1.3467 1.3168
1001 915 1091 43^2 45^2 1.0940 1.0899
10001 9721 10285 140^2 142^2 1.0288 1.0284
100001 99109 100897 446^2 448^2 1.0090 1.0090
1000001 997175 1002831 1413^2 1415^2 1.0028 1.0028
10000001 9991059 10008947 4471^2 4473^2 1.0009 1.0009
100000001 99971719 100028287 14141^2 14143^2 1.0003 1.0003

yangchuanju · 发表于 2025-9-27 06:24

由朱容仟经验公式x+y≈(4xy)^0.5，
平方得x^2+2xy+y^2≈4xy，x^2-2xy+y^2≈0，(x-y)^2≈0，x-y≈0，x≈y，
朱容仟意图通过已知两相邻素数的积求两个相邻素数，
他将两相邻素数的积乘以4后开平方并向上取整取偶，认为得数是x+y，再配上xy后解这个方程组，即可得到两个相邻素数；
殊不知这样得到的x和y不一定是相邻素数，必须对得数进行素性检验；
并且所给定的积数确有两个相当接近的因子（不一定是素因子）才行。

将x+y换成a，x-y换成b，则x=(a+b)/2，y=(a-b)/2，4xy=(a+b)*(a-b)=a^2-b^2，
在b相对于a较小时，4xy≈a^2，(4xy)^0.5≈a，这就是朱容仟认为将积数乘以4开平方再向上取整取偶的得数就是两因子和的理由；
当题目所给的积数确实是两个相距不远的素数（不一定非相邻）之积时，解方程组所得整数解就是积数的两个素因子。
条件：积数的两个因子x和y（不一定非是素因子）相距不能很远，x和y的比值及差值没有特定常数可描述，视两数的大小而定；
一般说来，x和y为百内整数时，两数之比不大于2就能满足要求；当x和y逐渐增大时，两数之比需降低到稍大于1才行。

cuikun-186 · 发表于 2025-9-27 06:54

其实对于孪生素数：x=p，y=p+2，x+y≥2√xy
即2p+2≥2√p(p+2)
p+1≥√p(p+1)
设偶数M=p+1
M≥√pM
即在自然数轴上偶数M大于素数与之递进偶数积的平方根。
自然数无穷多，素数无穷多，则孪生素数无穷多。

yangchuanju · 发表于 2025-9-27 07:14

惊喜发现！
给定一个正整数x以后，x/y的最大比值是[x+int((2x)^0.5)]/[x-int((2x)^0.5)]；
[√(ab)]^2 - ab 的值是完全平方数的个数约等于int((2a)^0.5)。

x int((2x)^0.5) 比值
11 4 2.1429
21 6 1.8000
31 7 1.5833
41 9 1.5625
51 10 1.4878
61 11 1.4400
71 11 1.3667
81 12 1.3478
91 13 1.3333
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