蝴蝶定理的代数证法

luyuanhong

蝴蝶定理的代数证法

原创  新视野理科培优  2025 年 09 月 24 日 11:42  广东



圆 O 的一条弦 AB 的中点为 C ，DE 和 FG 为过 C 的另外两条弦且分别交 AB 于 H,K 。

求证：HC=KC 。



相交弦意味着很多个相似，不妨分别做一堆垂直试试。

1、两个橙色三角形相似， HC:KC=a1:a2

2、两个蓝色三角形相似， HC: KC=b1:b2

3、两个紫色三角形相似， a1:b2=c1:c2

4、 两个绿色三角形相似，b1:a2=d1:d2

5、相交弦定理： cd*d1=AH*HB=(AC-CH)*(AC+CH)=AC^2-CH^2

6、相交弦定理:    c2*d2=(AC-CK)*(AC+CK)=AC^2-CK^2

上面六个式子相乘，再利用糖水等式，得

HC=KC 。

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