质数密度高且有规律的“9091”数系

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质数密度高且有规律的“9091”数系
李联林

简介：本文给出一种质数密度很高的新型数系，而且在十万位长的范围内，被验证到数值越大时，质数的密度反而有增高的趋势，只是增速渐缓，与自然数系中的质数定理并不相符。不仅如此，其中被找到几千个质数的位长，全部出现一种以必要（但不充分）条件为表达的规律性，打破了“质数出现时杂乱无章”的传统认知。运用这两个特点，可以构成一种对于“9091”类型奇数的位长（而不是对数值本身）进行筛选的算法，高效地找到远超人类已知最大梅森质数的质数。

1 背景
如果说数论是数学中的皇后，那么质数就是数论中的王子；密码学中密钥的选择与破解（质因数分解），就和质数规律及其特性，密切相关。自从公元前三百多年，古希腊的欧几里得证明了质数可有任意多个以后，质数出现时有何规律，顺其自然就成为了众多学者的研究目标。人们曾希望能够通过一个解析公式，只要把某个参数输入进去，就可得到任意大的质数；但是梅森公式、费马公式，…，均未成功。因为久寻质数规律未果，学术界的主流认知是，质数出现时杂乱无章、随机，没有规律，逐渐就把研究重点转向了质数如何分布的课题，例如炙手可热的黎曼猜测、哥德巴赫猜测、孪生质数间隔等问题上。
但是何为更大，却一直吸引着人类的好奇心。而那些研究质数如何分布的成果，并不能帮助我们直接找到极大的质数。因此，现在学术界的主流路线，仍然需要在历史悠久的梅森数系（2^p-1）中，对于众多奇数，采取逐一进行质性判定的方式来寻找质数。GIMPS计划热火朝天，即使有190多个国家近百万的参与者，大约233万个CPU核心，超过30万台计算机全球联网协力计算，经过多年的努力，仍然收获寥寥。在2018年，找到只有2324万位的第51个梅森质数(2^82589933-1)后，6年过去，在2024年，方才找到(2^136279841-1)，约有4102万位长的第52个。
究其原因，正如质数定理所指出的那样，自然数中的数值越大，质数就越稀疏；梅森质数大致也是如此。确切地说，当数值约为一千万位长时，平均在一千多万个奇数当中才会有一个质数；而在一亿位长附近，就需要筛选一亿多个奇数。
本文作者认为，在梅森数中搜寻质数，这个方向已不可持续；即使将来找到第53、54个，仍然没有发现质数规律，意义能有多大？解决问题的真正出路应该在于，首先要找到合适的切入点，把质数合理地分类以后，在新的数系中去寻找同类质数之间的共同点，才能便于找到极大的质数。

2 “9091”数系
定义：最低位是一对91，高位上全是成对的90；为叙述方便，用符号Ll来表达这类数值，其中小写字母l表示所含90的对数。例如，L0代表91，L1代表9091，L2则代表909091，…，以此类推。
Ll数值的位长为（2*l+2），l值是此类数值的唯一变量。
我们知道，有理数X倒数小数点后面数字循环周期的长度c，有长有短，除了已知c ≤（X-1）以外，没有太多直接可用的规律。例如，1/3=0.3...，c=1；1/7=0.142857...，c=6；1/9=0.1...，c=1；1/11=0.09...，c=2；…。
而Ll类型数值却完全不同，无论它们是质数还是合数，c值皆有规律，始终与l值成正比，c=4*l+6。例如合数L0，1/L0=1/91=0.010989...，c=4*0+6=6；质数L1，1/L1=1/9091=0.0001099989...，c=4*1+6=10；质数L2，1/L2=0.00000109999989...，c=4*2+6=14；…。因为l值对应着它们的位长（2*l+2），那么相对而言，Ll类型数值的c值始终很小。

3 从“9091”数系中筛选出Ll质数的l值
从下述筛选出的质数中我们马上就能看到，只要某个Ll是质数，它的l值与c值之间，就有确定性的规律：只有当c/2=2*l+3（设其为p），是个质数时，对应的Ll才有可能也是个质数；但是这是个必要但不充分的条件。换句话说，不是当p值是个质数时，所对应的Ll就必然是质数，只是有一部分而已；还是有很多Ll合数，L0，L4，L5，…，它们的p值也是质数，例如，2*0+3=3，2*4+3=11，2*5+3=13，…。
3.1 从l=0到999
1，2，8，14，25，32，145，229，250，319，374，437，487，509，524，529，533，560，614，662，682，689，698，712，743，764，797，827，869，922，929，973，987，997。
在l=0到999的区间里，发现所对应的1000个Ll奇数当中有34个Ll质数，质数密度为34/1000=0.034；而同时，与Ll是质数的必要条件有关的p值，p=2*l+3，在3（p=2*0+3）≤p≤2001（p=2*999+3）区间中，却有303个质数。这两类质数的比例为，303/34=8.9118。（表中数值未经严格复核，若有个别误判或遗漏，不会对结论产生影响。）
3.2 从l=1000到1999
1054，1067，1075，1168，…，1684，1705，1715，1763，1915。
在l=1000到1999的区间里，发现有24个Ll质数，质数密度则为0.024；而p值，p=2*l+3，在2003（p=2*1000+3）≤p≤4001区间中，却有248个质数。这两类质数的比例为，248/24=10.3333。
3.3 从l=2000到2999
2002，2008，2027，2035，…，2738，2785，2833，2960，2992。
在l=2000到2999的区间里，发现有26个Ll质数，质数密度为0.026；而p值，p=2*l+3，在4003（p=2*2000+3）≤p≤6001区间中，却有232个质数。这两类质数的比例为，232/26=8.9231。
3.4 从l=3000到3999
3002，3070，3074，3127，…，3878，3919，3937，3962，3973。
在l=3000到3999的区间里，发现有27个Ll质数，质数密度为0.027；而p值，p=2*l+3，在6003（p=2*3000+3）≤p≤8001区间中，却有224个质数。这两类质数的比例为，224/27=8.2963。
3.5 从l=4000到4999
4043，4114，4130，4192，…，4799，4808，4928，4963，4969。
在l=4000到4999的区间里，发现有17个Ll质数，质数密度为0.017；而p值，p=2*l+3，在8003（p=2*4000+3）≤p≤10001区间中，却有222个质数。这两类质数的比例为，222/17=13.0588。
3.6 从l=0到4999的综合统计
正如自然数中的质数那样，Ll质数的分布也不是十分均匀，所以要在稍微宽泛的区间里进行宏观评估。在l值并不太大，0到4999的区间里，5000个l值当中，合计对应有128个Ll质数；那么在这个区间中的质数密度就平均为，128/5000=0.0256，即，大约39.0625个Ll奇数当中就可有1个Ll质数。经验证，所有Ll质数的p值，p=2*l+3，同时也全部为质数。例如，2*1+3=5；2*2+3=7；2*8+3=19；…；2*4928+3=9859；2*3962+3=9929；2*4969+3=9941。而与Ll是质数的必要条件有关的p值，在3（p=2*0+3）≤p≤10001（p=2*4999+3）的区间里，一共有1229个质数，这两类质数的比例平均为，1229/128=9.6016。
3.7 从l=9000到9999
9029，9047，9065，9107，…，9800，9839，9842，9899，9958。
在l值稍大，9000到9999的区间里，发现所对应的1000个Ll奇数当中有33个Ll质数，质数密度为33/1000=0.033；而同时，与Ll是质数的必要条件有关的p值，p=2*l+3，在18003（p=2*9000+3）≤p≤20001（p=2*9999+3）区间中，却有198个质数。这两类质数的比例为，198/33=6。
3.8 从l=10000到10999
10022，10073，10129，10133，…，10805，11918，11918，10987。
在l=10000到10999的区间里，发现有27个Ll质数，质数密度则为0.027；而p值，p=2*l+3，在20003（p=2*10000+3）≤p≤22001区间中，却有202个质数。这两类质数的比例为，202/27=7.4815。
3.9 从l=11000到11999
11017，11018，11025，11072，…，11803，11879，11905，11908。
在l=11000到11999的区间里，发现有35个Ll质数，质数密度为0.035；而p值，p=2*l+3，在22003（p=2*11000+3）≤p≤24001区间中，却有205个质数。这两类质数的比例为，205/35=5.8571。
3.10 从l=12000到12999
12053，12059，12088，12124，…，12895，12899，12919，12923。
在l=12000到12999的区间里，发现有34个Ll质数，质数密度为0.034；而p值，p=2*l+3，在24003（p=2*12000+3）≤p≤26001区间中，却有191个质数。这两类质数的比例为，191/34=5.6176。
3.11 从l=13000到13999
13000，13048，13052，13069，…，13979，13982，13997，13999。
在l=13000到13999的区间里，发现有35个Ll质数，质数密度为0.035；而p值，p=2*l+3，在26003（p=2*13000+3）≤p≤ 28001区间中，却有196个质数。这两类质数的比例为，196/35=5.6。
3.12 从l=9000到13999的综合统计
在l值稍大，9000到13999的区间里，5000个l值当中，合计对应有164个Ll质数；那么在这个区间中的质数密度平均为，164/5000=0.03828，大约30.4878个Ll奇数当中就可有1个Ll质数。经验证，所有Ll质数的p值，p=2*l+3，同时也全部为质数。例如，2*9029+3=18061；2*9047+3=18097；…；2*13997+3=27997；2*13999+3=28001。而与Ll是质数的必要条件有关的p值，在18003（p=2*9000+3）≤p≤28001（p=2*13999+3）的区间里，一共有992个质数，这两类质数的比例平均为，992/164=6.0488。
3.13 从l=45000到45999
45014，45062，45080，45098，…，45968，45977，45982，45983。
在l值较大，45000到45999的区间里，发现所对应的1000个Ll数值当中有36个Ll质数，质数密度为36/1000=0.036；而同时，与Ll是质数的必要条件有关的p值，p=2*l+3，在90003（p=2*45000+3）≤p≤92001（p=2*45999+3）区间中，却有173个质数。这两类质数的比例为，173/36=4.8056。
3.14 从l=46000到46999
46015，46019，46024，46040，…，46955，46967，46990，46997。
在l=46000到46999的区间里，发现有43个Ll质数，质数密度则为0.043；而p值，p=2*l+3，在92003（p=2*46000+3）≤p≤94001区间中，却有183个质数。这两类质数的比例为，183/43=4.2558。
3.15 从l=47000到47999
47027，47048，47057，47083，…，47885，47905，47908，47993。
在l=47000到47999的区间里，发现有41个Ll质数，质数密度为0.041；而p值，p=2*l+3，在94003（p=2*47000+3）≤p≤96001区间中，却有183个质数。这两类质数的比例为，183/41=4.4634。
3.16 从l=48000到48999
48025，48028，48109，48110，…，48805，48854，48905，48938。
在l=48000到48999的区间里，发现有37个Ll质数，质数密度为0.037；而p值，p=2*l+3，在96003（p=2*48000+3）≤p≤98001区间中，却有165个质数。这两类质数的比例为，165/37=4.4595。
3.17 从l=49000到49999
49007，49027，49049，49063，49070，49132，49148，49160，49213，49225，49232，49258，49270，49285，49297，49309，49330，49357，49363，49367，49432，49435，49447，49489，49495，49498，49538，49573，49657，49672，49694，49697，49762，49780，49882，49903，49907，49915，49918，49963。
在l=49000到49999的区间里，发现有40个Ll质数，质数密度为0.04；而p值，p=2*l+3，在98003（p=2*47000+3）≤p≤100001区间中，却有174个质数。这两类质数的比例为，174/40=4.35。
3.18 从l=45000到49999的综合统计
在l值较大，45000到49999的区间里，位长为九万到十万的5000个Ll数值当中，一共有197个Ll质数；那么在这个区间中的质数密度平均为，197/5000=0.0394，大约25.3807个Ll奇数当中就可有1个Ll质数。经验证，所有Ll质数的p值，p=2*l+3，同时也全部为质数。例如，2*45014+3=90031；2*45062+3=90127；…；2*49918+3=99839；2*49963+3=99929。而与Ll是质数的必要条件有关的p值，在90003（p=2*45000+3）≤p≤100001（p=2*49999+3）的区间里，一共有878个质数，这两类质数的的比例平均为，878/197=4.4569。

4 对于“9091”类型质数筛选结果的分析
4.1 Ll质数密度较高且持续缓慢升高
“9091”类型质数的密集度，虽然在不同的l值区间中略有波动，但若在稍微宽泛的区间里进行宏观评估，明显可以看出，要远高于在自然数和梅森数中的质数密度。依据在十万位长以下，由小到大三个区间里的计算结果，密度均值分别有，0.0256<0.03828<0.0394；可以预测，在更大位长时，还是会随着Ll数值的增大，密度仍将继续增高，只是增速会逐渐趋缓。这与我们从质数定理中得到的常识，“数值越大，质数就越稀疏”，并不相符。
4.2 质数出现时与c值有关联
“9091”类型Ll质数出现时有着确定性的规律，它是以必要（但不充分）条件的形式出现，只有当p=c/2=2*l+3，是个质数时，它才有可能是个质数。已在十万位长以内的数千个Ll质数中验证完毕，无一反例。
4.3 质数p与Ll质数的数量比例持续变小但降速趋缓
两类质数的比例，当然是越小越好，有利于找到Ll质数。从l值由小到大，三个不同区间的统计结果中可以看到，由于Ll质数的密度持续上升，而质数p的密度却在不断下降，使得这两类质数比例的平均值持续地下降，9.6016 > 6.0488 > 4.4569。
不过，由于p=2*l+3，仍是普通且连续的自然数，那么其中出现的质数，就会遵循质数定理，p/ln(p)，随着l值的增大，逐渐变得越来越稀疏。既然发现Ll质数成立的必要条件，p值必须是个质数，那么，质数p与Ll质数之间的数量比例，也就不可能永远大幅度地降低下去；即，小于1:1的比例，是不可能出现的。统计结果也表明，在九万到十万位长的较大Ll数值区间，每一千个Ll数值的区间里，两类质数的比例分别为，4.8056，4.2558，4.4634，4.4595，4.35，波动和降幅均逐渐变小。
不过，在更大的数值区间中，例如在一些具有上亿位长（甚至更大）连续的Ll数值当中，这两类质数的比例究竟是多少，还有待于观察。但最终无论是Ll质数的密度，还是两类质数的比值，是否会逐渐趋向于某一个常值，或者是非常缓慢地上升与下降，均有所期待。
4.4 “9091”质数的密度为什么会比较高
质数密度高的原因比较复杂，而本文的主要目的只是揭示出这种事实，并把发现到的质数规律运用到寻找极大的质数上，暂不准备对其原因进行深入探讨。
作者只是初浅地认为，“9091”类型数值具有特定的数字结构，以l值作为变量，数值之间成百倍地增长，得以躲过（过滤掉）大量其它类型的数值，只保留同类型的质数，是其密度高且有规律的主要原因。
而且发现，当p值是个质数时，如果所对应的Ll却是个合数，其中的质因数，就会有其特点；如果p值是个合数，所对应的Ll就必然是个合数，而且其中的质因数，也有其规律。
这就是说，虽然“9091”类型数值也属于自然数，但只是其中的一部分，所以质数定理并没有错，适用的范围却有所不同。     
本质上，“9091”数系是被发现的，而不是被发明出来的。
4.5 寻找极大质数的新型高效算法已然可以实用
可以应用“9091”类型Ll质数成立时，首先p值必须是个质数这种必要条件，来构成一个寻找极大质数的高效算法。需要强调的是，有别于需要针对众多奇数，逐一进行质性判定的传统算法，新算法是利用质数规律，首先筛选与Ll类型数值位长有关的p值（而不是针对数值的本身，所以仅就这点筛选计算量而言，完全可以被忽略不计），得以极大幅度地减少了需要进行质数判定的奇数数量后，再对剩余的极少数奇数进行判定。依据现有计算结果，预计当Ll数值较大或特大时，p与Ll这两种质数的数量之比，变化不会太大。这就是说，当奇数的位长为一亿位时，利用质数规律筛选后剩余的Ll数值当中，每四、五个（或少数几个）就有可能出现一个质数，这要远远高于在传统的自然数系或梅森数系中寻找到质数的概率。
在这个基础上，从复杂度的角度上看，只要两类质数的比例不随着l值增大而明显变大，需要被判定的Ll数值就会始终很少，计算复杂度将完全取决于对于单个质数进行质性判定时的算法。

5 如何找到远超人类已知最大梅森质数的质数应用举例
第一步：若想找到一亿位长的质数，需要先筛选出一亿大的若干质数p（这很容易），例如，100000007，100000021，100000033，100000087，100000093，100000097，100000103，100000123，100000181，100000207，100000223，100000241，100000271，100000289，100000297，…。
第二步：计算l=(p-3)/2，把它们转换成Ll数值中的l值，那么l值分别为，50000002，50000009，50000015，50000042，50000045，50000047，50000050，50000060，50000089，50000102，50000110，50000119，50000134，50000143，50000147，…。
理论上15个Ll数值当中，就可能存在3个质数；但这只是依据在较大范围里，对于两类质数比例平均值的预估，倘若考虑到质数的分布不是很均匀，那就至少会有1个吧。有能力的学者不妨验证一下。
或者也可以选择大约四千二百万位长的数值来进行验证，那样会更加容易一些。例如，l=21000004，21000007，21000008，21000013，21000017，21000028，21000029，21000032，21000035，21000052，21000053，21000064，21000067，21000094，21000098，…。

6 待解决的问题
待解决的问题有很多，但作者认为最重要的有如下几个：
如何证明“9091”类型质数可有无穷多个？
如何证明质数规律（必要条件）能够成立？
“9091”数系中质数密度高的深层次原因是什么？
是否还有其它类型具有特定数字结构且也有实用价值的数系？
传统的数论学者可能会重视前四个问题，但作者却觉得最后一个要更加有趣。数论中一个新的分支，一个能够解决久而未决的世界性难题，而且可被充分验证到的分支，就是这样炼成的。

本文属于原创，没有参考文献；若有引用，请注明出处。

yangchuanju

A001562
Numbers n such that (10^n + 1)/11 is a prime.
1 5
2 7
3 19
4 31
5 53
6 67
7 293
8 641
9 2137
10 3011
11 268207
12 1600787

A097209
Primes of the form (10^p + 1)/11 (corresponding p are in A001562).
1 9091
2 909091
3 909090909090909091
4 909090909090909090909090909091
5 9090909090909090909090909090909090909090909090909091
6 909090909090909090909090909090909090909090909090909090909090909091

yangchuanju

A054416
Numbers k such that 9090...9091 (with k-1 copies of 90 and one copy of 91) is prime.
1 2
2 3
3 9
4 15
5 26
6 33
7 146
8 320
9 1068
10 1505
11 134103
12 800393