处处为零积分值不为零的函数

常量

函数处处为零时，其积分值必然为零，这是因为积分可以理解为函数曲线和水平轴之间的面积，如果函数值在所有点上都为零，那么这个面积自然为零。果然如此吗？未必！存在这样的函数，其积分值并不为零。

Future_maths

在标准函数论中，如果函数f(x) 在积分区间上处处为零，那么其积分值必然为零。任何声称相反的例子要么涉及非标准概念（如广义函数），要么是对函数序列极限的误解。

常量

是的，这是广义函数

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一些帖子，可供参考：

对于一般学习和使用数学的人来说，特别是对于工程技术人员来说，都习惯于把 δ(x)

当作一个普通的函数来处理和使用，觉得这样很方便。

但是，按照严格的标准的数学分析的观点来看，δ(x) 不能看作是一个函数，只能看作是

一个泛函。

可是，如果真的把 δ(x) 写成泛函的形式，严格按照泛函的定义来处理和使用，对于一般

学习和使用数学的人，特别是对于工程技术人员来说，又觉得非常不方便，非常不习惯。

所以，在目前大多数的数学书中，又不得不把 δ(x) 写成普通的函数的形式。

这个矛盾，在非标准分析中可以得到很好的解决。

按照非标准分析的观点，δ(x) 可以看作是一个在定义式中包含超实数的“超实函数”。

既然 δ(x) 可以看作是函数，那么，在非标准分析中，δ(x) 当然可以写成函数的形式，

就可以很方便的作为函数来处理和使用了。

luyuanhong