证明：arctanx=arcsin[x/√(x^2+1)].

波斯猫猫

与三角函数的反函数有关的一个例子
(本论坛数学期刊.luyuanhong发表于 2025-10-29 00:23)
原创  NERV000  有条有梅  2025 年 10 月 28 日 18:00  河南
我们看一个与反正切、反正弦函数有关的，函数值恒为 0 的函数：

f(x)=arctanx-arcsin[x/√(x^2+1)]，即f(x)=0.

作者用导数方法证明，下面用定义证明.

证：设arctanx=α，arcsin[x/√(x^2+1)]=β，

则tanα=x，sinβ=x/√(x^2+1)，其中x∈R，α,β∈(-π/2,π/2).

∴ cosβ=1/√(x^2+1)，tanβ=x，tanα=tanβ.

∵ y=tanx在(-π/2，π/2)上是增函数，∴ α=β.

即arctanx=arcsin[x/√(x^2+1)].

luyuanhong

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