平面向量 a,b,c 满足 ｜a-b｜=a·b+1 ，｜a｜=｜c｜=1 ，求 ｜3a-b+c｜ 的最小值

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請問數學 114_107-2

波斯猫猫

题：平面向量 a,b,c 满足｜a-b｜=a·b+1，
｜a｜=｜c｜=1，求｜3a-b+c｜的最小值.

思路：如图，由｜a-b｜=a·b+1，有

1+｜b｜^2-2a.b=(a.b)^2+2(a.b)+1，

即｜b｜^2=(a.b)^2+4(a.b)，

或｜b｜=4cosθ/(sinθ)^2.

∵ (x+1)^2=9+｜b｜^2-6｜b｜cosθ

=(｜b｜-3cosθ)^2+9(sinθ)^2

=16[1/(sinθ)^2-5/4]^2+8≥8，

∴ x≥2√2-1.

显然,｜3a-b+c｜≥x≥2√2-1.