辐边总和公式与平面图着色理论：一个基于轮构型分解的完整框架

朱明君

辐边总和公式与平面图着色理论：一个基于轮构型分解的完整框架

核心摘要：本文提出了一种解决二维平面图着色问题的全新范式。其基石在于一个根本性的视角转换：将所有二维平面图视为基本轮构型模块通过点、边共享叠加而成的复合结构。基于此，我们创立了“辐边总和公式”这一核心量化工具，并设计了一套将任意原图与其对应的单中心轮图进行双向转换的几何流程。该流程保证了转换前后图的结构与着色功能完全等价，从而将复杂的平面图着色问题归约为已完美解决的轮图着色问题，为四色定理提供了一个构造性的、可操作的系统性解决方案。

1.理论基础：轮构型模块化世界观 本理论的首要前提是认知范式的转变：任何平面图都不是一个不可分割的整体，而是由多个轮构型（一个中心节点及其环状邻接节点构成）作为“构造单元”叠加组装而成。这种“可拆可合”的模块化观点，是理解后续所有公式、转换和证明的逻辑起点。

2.核心引擎：辐边总和公式体系 公式的作用是为图结构的转换提供精确的“施工蓝图”，计算新单中心轮图所需的辐边总数 w。
基础公式：w = 6(n - m - 1) + (m - d)
适用范围：由外向内两层及以上环+中心区域结构的标准二维平面图，每轮构型的辐边独立计算后相加。
参数意义：n（总节点数），m（外围节点数），d（第二层节点数）。
逻辑起源：公式结构与系数6源于对最小规模平面图（n=4, m=2, d=2）的推导，确保了理论在起点上的自洽。其中减1就是减去围内1个其准值。
普适公式：w = 6(n - 4)，其中 n = K原图+ 6
创新机制：通过引入一个包含6个节点的双层虚拟环（每层3节点）包裹原图，将带孔洞、亏格曲面等非标准图统一“标准化”。
·关键保障：虚拟环的添加与移除不影响原图的着色属性，从而实现了理论对所有平面图类型的全域覆盖。

3.实现路径：可分可合的双向结构转换 理论提供了一套清晰的几何操作流程，
实现原图与单中心轮图之间的无损转换。
去程（原图 → 新图）：
1.分解：将原图拆解为N个（围内节点数）变形轮构型。
2.标准化：通过“皮筋伸缩”拓扑操作，将各变形轮恢复为标准轮构型。
3. 扇化：选择每个标准轮构型，在其外环上一节点的单侧与边的连接处进行断开，使每个轮构型成为两端：一端是节点端， 一端是边端。随后，通过边与辐边的伸缩操作，使每个轮构型转变为扇形。在此扇形中：辐边为扇骨，环边为扇纸，每个轮构型的中心节点 成为扇柄中的扇钉或点片
4. 拼接：将所有扇形的“扇柄”（中心点）叠加，并将扇形边缘（节点端与边端）首尾相连，形成最终的单中心轮图。
回程（新图 → 原图）： 这是一个完全可逆的过程。将新图拆回扇形，复原为标准轮，再通过“点边叠加”精确恢复原图结构，确保了结构等价性。

4. 着色方案：简洁的最优着色规则 转换得到的单中心轮图，其着色方案是确定且最优的：
奇环轮图：需4色（环上2色交替+1种补色+中心第4色）。
偶环轮图：需3至4色（环上2色交替+中心第3色，存在优化空间）。
核心推论：若原图包含至少一个奇轮构型，则必用4色；若全为偶轮，则3色或4色可解。最终确保原图色数 ≤ 4。

5.等价性保障：无冲突的颜色映射机制 为确保着色结果的功能等价性，理论设计了稳健的颜色映射机制：
颜色统一：在原图转新图时，若原图各轮构型中心节点颜色不一致，选取占比最多的颜色作为新图中心色，其余轮构型通过环上与中心节点的颜色互换实现统一。
颜色复原：在新图转原图时，若中心颜色冲突，通过逆向的颜色互换使其与原图记录一致。
流程优化：无冲突时可直接替换，简化操作。

结论 本理论通过“轮构型模块化”的本体论观点、“辐边总和公式”的方法论工具和“双向转换”的实践路径，构成了一个逻辑严密、操作自洽的完整框架。它不仅为平面图四色问题提供了一个新颖的解决方案，更重要的是，它建立了一种可拆解、可组装、可量化的图结构分析范式，具有深远的理论潜力与应用价值

朱明君

辐边总和公式与平面图着色理论：一个基于轮构型分解的完整框架

核心摘要：本文提出了一种解决二维平面图着色问题的全新范式。其基石在于一个根本性的视角转换：将所有二维平面图视为基本轮构型模块通过点、边共享叠加而成的复合结构。基于此，我们创立了“辐边总和公式”这一核心量化工具，并设计了一套将任意原图与其对应的单中心轮图进行双向转换的几何流程。该流程保证了转换前后图的结构与着色功能完全等价，从而将复杂的平面图着色问题归约为已完美解决的轮图着色问题，为四色定理提供了一个构造性的、可操作的系统性解决方案。

1.理论基础：轮构型模块化世界观 本理论的首要前提是认知范式的转变：任何平面图都不是一个不可分割的整体，而是由多个轮构型（一个中心节点及其环状邻接节点构成）作为“构造单元”叠加组装而成。这种“可拆可合”的模块化观点，是理解后续所有公式、转换和证明的逻辑起点。

2.核心引擎：辐边总和公式体系 公式的作用是为图结构的转换提供精确的“施工蓝图”，计算新单中心轮图所需的辐边总数 w。
基础公式：w = 6(n - m - 1) + (m - d)
适用范围：由外向内两层及以上环+中心区域结构的标准二维平面图，每轮构型的辐边独立计算后相加。
参数意义：n（总节点数），m（外围节点数），d（第二层节点数）。
逻辑起源：公式结构与系数6源于对最小规模平面图（n=4, m=2, d=2）的推导，确保了理论在起点上的自洽。其中减1就是减去围内1个其准值。
普适公式：w = 6(n - 4)，其中 n = K原图+ 6
创新机制：通过引入一个包含6个节点的两层虚拟环（每层3节点）包裹原图，将带孔洞、亏格曲面等非标准图统一“标准化”。
·关键保障：虚拟环的添加与移除不影响原
图的着色属性，从而实现了理论对所有平面图类型的全域覆盖。

3.实现路径：可分可合的双向结构转换 理论提供了一套清晰的几何操作流程，
实现原图与单中心轮图之间的无损转换。
去程（原图 → 新图）：
1.分解：将原图拆解为N个（围内节点数）变形轮构型。
2.标准化：通过“皮筋伸缩”拓扑操作，将各变形轮恢复为标准轮构型。
3. 扇化：选择每个标准轮构型，在其外环上一节点的单侧与边的连接处进行断开，使每个轮构型成为两端：一端是节点端， 一端是边端。随后，通过边与辐边的伸缩操作，使每个轮构型转变为扇形。在此扇形中：辐边为扇骨，环边为扇纸，每个轮构型的中心节点 成为扇柄中的扇钉或点片
4. 拼接：将所有扇形的“扇柄”（中心点）叠加，并将扇形边缘（节点端与边端）首尾相连，形成最终的单中心轮图。
回程（新图 → 原图）： 这是一个完全可逆的过程。将新图拆回扇形，复原为标准轮，再通过“点边叠加”精确恢复原图结构，确保了结构等价性。

4. 着色方案：简洁的最优着色规则 转换得到的单中心轮图，其着色方案是确定且最优的：
奇环轮图：需4色（环上2色交替+1种补色+中心第4色）。
偶环轮图：需3至4色（环上2色交替+中心第3色，存在优化空间）。
核心推论：若原图包含至少一个奇轮构型，则必用4色；若全为偶轮，则3色或4色可解。最终确保原图色数 ≤ 4。

5.等价性保障：无冲突的颜色映射机制 为确保着色结果的功能等价性，理论设计了稳健的颜色映射机制：
颜色统一：在原图转新图时，若中心颜色不一致，则选取众数颜色，并通过环上与中心的颜色互换达成统一。
颜色复原：在新图转原图时，若中心颜色冲突，通过逆向的颜色互换使其与原图记录一致。
流程优化：无冲突时可直接替换，简化操作。

结论 本理论通过“轮构型模块化”的本体论观点、“辐边总和公式”的方法论工具和“双向转换”的实践路径，构成了一个逻辑严密、操作自洽的完整框架。它不仅为平面图四色问题提供了一个新颖的解决方案，更重要的是，它建立了一种可拆解、可组装、可量化的图结构分析范式，具有深远的理论潜力与应用价值

朱明君

辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用（完整简洁版）

摘要：本文提出一种解决二维平面图着色问题的新范式。通过将平面图视为轮构型模块的叠加，并引入“辐边总和公式”作为量化工具，建立了原图与单中心轮图之间双向转换的几何流程。该流程保证了转换前后图的结构与着色功能完全等价，从而将复杂的平面图着色问题归约为已解决的轮图着色问题，为四色定理提供了一个构造性的系统解决方案。
关键词：二维平面图；辐边总和公式；轮构型；图着色；四色定理

1.引言 二维平面图的着色是图论中的经典难题。四色定理表明任何平面图均可四色着色。本文提出辐边总和公式，通过将任意平面图（原图）简化为结构功能等价的单中心轮图（新图），实现着色过程的规范化与简化。其中，辐边总和数 = 新图的辐边数 = 环上节点数 = 环边数。新图与原图的双向可转换性及功能等价性，确保了着色结果的有效映射。

1.辐边总和公式与图结构转换
2.1辐边总和公式 （本公式为纯代数公式，与传统图论中的欧拉公式分属不同体系。）
核心观点是：所有二维平面图均由轮构型模块通过点、边共享叠加构成。辐边总和公式旨在将其转换为单中心轮图以简化着色。
基础公式：w = 6(n - m - 1) + (m - d)
适用范围：由外向内双层及以上环加中心区域的标准二维平面图。计算时，各轮构型辐边独立计算后相加。
参数：n为节点总数 (n ≥ 4)，m为外围节点数 (m ≥ 2)，d为第二层环节点数 (d ≥ 2)，w为辐边数 (w ≥ 6)。
公式起源：系数6源于最小解（n=4, m=d=2时，w=6）；“减1”是减去围内一个基准值。
特殊情形：   ·
若 m = d，则 w = 6(n - m - 1)   
若 m = d = 3，则 w = 6(n - 4)

2.2 普适公式与虚拟环构建 为覆盖所有平面图类型（包括含孔洞、亏格曲面、多面体等非标准图），引入双层虚拟环（总节点数6，每层3节点）进行标准化处理。
普适公式：w = 6(n新 - 4) · 参数：n原为原始图节点数 (n原 ≥ 0)；n新 = n原 + 6为添加虚拟环后的新图节点总数。
关键保障：虚拟环的添加与移除不改变原图的着色属性，新图着色结果可被原图继承，且色数 ≤ 4。

2.3 原图与新图的结构转换
2.3.1 原图到新图的转换
1. 分解：将原图分解为N个（围内节点数）变形轮构型，记录其几何形状。
2. 标准化：通过“皮筋伸缩”操作，将变形轮构型还原为标准轮构型。
3. 扇化：于各标准轮构型外环上一节点的单侧与边连接处断开，通过伸缩形成扇形。中心节点成为扇钉或点片，扇形两端分别为节点端与边端（辐边为扇骨，环边为扇纸）。
4. 拼接：将所有扇形的扇柄（中心点）叠加，并将扇形边缘（节点端与边端）首尾相连，形成单中心轮图。

2.3.2 新图到原图的转换 此为可逆过程：将新图分解为扇形，还原为标准轮构型，再通过点边叠加恢复原图结构，确保结构等价性。

3.单中心轮图的最优着色方案 着色方案由新图环的奇偶性及原图轮构型特性共同决定：
奇环轮图 (n=2m+1)：需4色。环上节点用2色交替着色m次，剩余1节点用第3色，中心节点用第4色。
偶环轮图 (n=2m)：通常需3色。环上节点用2色交替着色m次，中心节点用第3色。 · 关键约束：若原图中存在任一奇轮构型模块，则新图即使为偶环也必须采用4色方案，此为保证着色结果能无冲突映射回原图的核心条件。

4原图与新图的功能等价性
4.1 原图到新图的颜色统一 若原图各轮构型中心节点颜色不一致，选取占比最多的颜色作为新图中心色，其余轮构型通过环上与中心节点的颜色互换实现统一。
4.2 新图到原图的颜色复原 若新图中心色与原图记录冲突，通过新图中心与环上节点的颜色互换使其一致。
4.3 无冲突直接替换 无颜色冲突时，可直接进行中心颜色替换以简化流程。
4.4 着色保障 偶环3至4色的灵活性确保了双向转换的成立。

结论 本文提出的辐边总和公式与轮构型转换框架，通过虚拟环包裹与双向等价转换，将平面图着色问题系统性地归约为单中心轮图着色。该理论不仅为四色定理提供了构造性证明思路，更建立了一种可拆解、可量化的图结构分析新范式，具有重要的理论价值与应用潜力。

附录：公式扩展应用与补充说明
1.非标准图（含孔洞）修正：    · 修正项：z = (N外 - 3v外) + 2(N内 - 3v内) (N:边数和, v:孔洞个数)  
修正公式：w = 6(n - m - 1) + (m - d) - z
2. 单层外围环结构修正：  
以三边形为模，理论边数 e理论 = 2d - 3 (d为围内节点数)。比较实际边数 a 与 e理论 引入修正项 ±z。 综合公式：w = 6(n - m - 1) + (m - d) ± z - [(N外 - 3v外) + 2(N内 - 3v内)]
3. 普适简化公式：    
适用于单/多层外环加中心区结构：w = n + 3d - 4 ± z - [(N外 - 3v外) + 2(N内 - 3v内)]    
此处修正项 ±z 基于树型模理论边数 e理论 = d - 1 的比较。

重要注记：本公式体系适用于平面图，对Kn全阶图（如K5, K3,3等非平面图）不适用。

辅助计算公式（与传统欧拉公式无关）：    
设 n 为节点数，m 为外围节点数。    
三边形个数：a = (n - 2) + (n - m)    
边的个数：e = 2n + (n - m - 3) ---