\(\Huge^\star\;\omega=\mathbb{N}\textbf{ 为最小无穷序数}\)

elim

哪些书提到\(\omega=\mathbb{N}\)问题的ChatGTP回答：

许多基础数学与数理逻辑的教材都会明确写出\(\omega = \mathbb{N}\)
或将 (\omega) 定义为自然数集合(最小无限序数).
以下是常见、经典且确实会出现这一记号的书目：

【1】 Set Theory（ZFC）

这些书几乎都会讲序数，并写出 \(\omega\) 是最小的无限序数，
且其底层集合可取为\(\mathbb{N}\)。

### **经典教材：**

1. **K. Kunen – *Set Theory***

   * 明确介绍序数,\(\omega\) 作为第一个无限序数，通常与自然数集合同构。

2. **Thomas Jech – *Set Theory***

   * 标准序数构造章节会写 \(\omega = \{0,1,2,\dots\}\)

3. **Herbert Enderton – *Elements of Set Theory***

   * 极为清晰地介绍 \(\omega\)，并指出其可视为 \(\mathbb{N}\)。

4. **Robert Vaught – *Set Theory: An Introduction***

   * 序数章节会给出 \(\omega\) 与自然数的对应。

【2】数理逻辑 / 模型论教材

这些书在介绍 Peano 算术, 集合论基础或序数时, 也会采用 \(\omega\).

5. **Elliott Mendelson – *Introduction to Mathematical Logic***

   * 在集合论模型部分介绍 \(\omega\) 是自然数序数。

6. **Shawn Hedman – *A First Course in Logic**

   * 讨论自然数结构时常写 \(\omega\) 作为标准模型。

7. **Marker – *Model Theory**

   * 模型论中的标准模型\(\mathbb{N}\)有时也用\(\omega\)表示.

【3】 序数与良序理论书籍**

8. **Sierpiński – *Cardinal and Ordinal Numbers***

   * 整本书讨论基数与序数，其中 \(\omega\) 是核心。

【4】 基础数学、集合论入门教材（中文）**

以下中文教材也常明确写出 \(\omega = \mathbb{N}\) 或类似表述：

9. **华东师大《集合论及其应用》（陈纪修等）**
10. **《集合论与图论》（丁同仁等）**
11. **《数理逻辑》（陈惠芳、朱洪元）**

这些书在介绍自然数的集合论构造时，会定义：
\(0 = \varnothing,\; n+1=n\cup{n},\; \omega = \{0,1,2,3,\ldots\}\)


## 如你需要，我可以进一步提供某类书
（如逻辑/集合论/教材）的更详细列表？

春风晚霞

elim,你罗列的这些书中，有一本讲了\(\omega\)是最小无穷数吗？其实elim才是孤陋寡闻,吃屎成痴无知之极！若有讲\(\omega\)是最小无穷数的，试问在哪本书？哪 章？哪页？哪行讲的？

春风晚霞

命题：皮亚诺公理对\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)依然成立。
        证明：因为在现行数学理论中只有形如\(j\cdot\omega\)\((j\in\mathbb{N})\)这样的数没有直接前趋(即极限序数)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)不是\(\omega\)的直接前趋，故此\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n+1\ne\omega\),又因\(\omega\)的后继是\(\omega+1\)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n+1\)\(\ne\omega+1\)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n+1<\omega\)(实数三分律原理），所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n+1\in\mathbb{N}\).所以皮亚诺公理对自然数\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)成立.【证毕】。
        【推论】
①、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n+j\in\mathbb{N}\)
②、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\in\mathbb{N}\)
③、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\in\mathbb{N}\)
④、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\in\mathbb{N}\)
……

春风晚霞

       皮亚诺公理及冯诺依曼在什么地方说过  ω=N是最小无穷序数？！在现行数学中 ω是最小超穷数！elim为了圆谎，无视数学事实。你骗你的信徒可能凑效，骗广大数学爱好者只能是自取其辱！

春风晚霞

elim,你罗列的这些书中，有一本讲了\(\omega\)是最小无穷数吗？elim,你能正确辩析无穷小序数、无穷小基数、无穷小自然数的概念吗？其实elim才是孤陋寡闻,吃屎成痴无知之极！若有讲\(\omega\)是最小无穷数的，试问在哪本书？哪 章？哪页？哪行讲的？

elim

春风晚霞

       皮亚诺公理及冯诺依曼在什么地方说过  ω=N是最小无穷序数？！在现行数学中 ω是最小超穷数！elim为了圆谎，无视数学事实。你骗你的信徒可能凑效，骗广大数学爱好者只能是自取其辱！

春风晚霞

       皮亚诺公理及冯诺依曼在什么地方说过  ω=N是最小无穷序数？！在现行数学中 ω是最小超穷数！elim为了圆谎，无视数学事实。你骗你的信徒可能凑效，骗广大数学爱好者只能是自取其辱！

春风晚霞

命题：皮亚诺公理对\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)依然成立。
        证明：因为在现行数学理论中只有形如\(j\cdot\omega\)\((j\in\mathbb{N})\)这样的数没有直接前趋(即极限序数)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)不是\(\omega\)的直接前趋，故此\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n+1\ne\omega\),又因\(\omega\)的后继是\(\omega+1\)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n+1\)\(\ne\omega+1\)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n+1<\omega\)(实数三分律原理），所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n+1\in\mathbb{N}\).所以皮亚诺公理对自然数\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)成立.【证毕】。
        【推论】
①、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n+j\in\mathbb{N}\)
②、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\in\mathbb{N}\)
③、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\in\mathbb{N}\)
④、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\in\mathbb{N}\)
……

elim

集合论没说春霞是白痴, 但可推出它就是白痴\(\underset{\;}{\;}\)
由皮亚诺公理及冯诺依曼构造,  \(\omega=\mathbb{N}\)是最小极
限序数也是无穷序数.  若\(m\le\omega\)为最小无穷序数.
则\(m\)之前皆有限数, \(m\)必为极限序数, 不小于最小
极限序数．故 \(\omega=m\) 是最小无穷序数.
于是小于最小无穷 \(\omega\) 的数(自然数)皆有限.
狗屎活活吃傻的滚驴不仅孤陋寡闻, 还不识大小