已知 a^2，b^2 为正整数，3^a + 81 = b^4 ，求 a^2 + b^2

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請問數學：112791



原題修正為：a^2,b^2為整數

luyuanhong

题  已知 a^2 ，b^2 为正整数，3^a + 81 = b^4 ，求 a^2 + b^2 。

解  从 b^4 = 3^a + 81 = 3^a + 3^4 = 3^4×[3^(a-4) + 1] 可以看出：

    b^4 是 3^4 的倍数，也就是说，正整数 b^2 是 3^2 的倍数。这时有

  3^(a-4) = b^4／3^4 - 1 = (b^2／3^2)^2 - 1 = (b^2／3^2 + 1)(b^2／3^2 - 1) 。

    上式表示：3 的 a-4 次幂，可以分解为两个相差 2 的正整数的乘积。

    可以看出，这两个相差 2 的正整数，只能是 3 和 1 。3 的 a-4 次幂就是 3 。

    所以，a-4 = 1 ，a = 5 。 b^2／3^2 = 2 ，b^2 = 2×3^2 = 18 。

    a^2 + b^2 = 5^2 + 18 = 25 + 18 = 43 。