用伽罗华理论探秘一元三次方程

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一元三次方程x^3+px+q=0有三个根，按照伽罗华理论，这三个根加到原来的域上成为一个扩域，这个扩域有4个子域。其中3个子域很好找，就是f(x1),f(x2),f(x3).第4个则不明显，就是f(a),a=x1/x2+x2/x3+x3/x1.而且这个域是惟一的正规扩域。令a'=x2/x1+x3/x2+x1/x3.
(x-a)(x-a')=0这个方程的系数都在p,q这个域内。即a+a',aa'均可以p，q的有理函数表示。