庚子赔款数学题A2, 计算出椭圆方程

dodonaomikiki

求出下面五点决定的椭圆方程！
并且计算其短半轴长度、长半轴长度、焦点以及离心率。
\(   P1(1,1)    \qquad           P2(\sqrt{  3},   0)                \qquad           P3(-\sqrt{  3},   0)               \qquad           P4(   0  , \sqrt{  3} )                \qquad           P5( 0  , -\sqrt{  3})                                  \)

dodonaomikiki

注明：  原试卷上面， \(         P3(\sqrt{  3},   0)   与P2相同   \)          ，我想应该是“谬误”！

dodonaomikiki

椭圆旋转(revolution of an ellipse)是一种平面仿射变换，
绕其中心进行旋转的一种平面仿射变换

dodonaomikiki

通过草草演算，得到原本方程：
\( \frac{x^2}{6}+ \frac{y^2}{2}=1           \)
半长轴以及半短轴显然已经不言而喻！

dodonaomikiki

计算焦点坐标也是很简单的！


因为不是逆时针旋转45度，
就不要用下列矩阵！
\(                     \begin{bmatrix}   
cos45^O    &   -sin45^O\\
sins45^O    &    cos45^O
    \end{bmatrix}    \)


可以用这个矩阵！
因为逆时针旋转啦135度
\(                     \begin{bmatrix}   
cos135^O    &   -sin135^O\\
sins135^O    &    cos135^O
    \end{bmatrix}    \)

dodonaomikiki

点评：   椭圆做45度旋转的运动，
力学意义上就是用来模拟自然界中的一些运动！
航空学中，就有一个叫做Erratic  Trajectory的一个运动轨迹，
她就是做了椭圆做啦45度旋转！



可见，本题具有浓厚的实际运用背景！
背后的物理色彩很浓厚哦！

dodonaomikiki

离心率的计算，有比较简单！
我补充上来

dodonaomikiki

进行旋转变换之后，横躺椭圆得到“新生”

\(                     \begin{bmatrix}   
X\\
Y
    \end{bmatrix}    \)=\(                     \begin{bmatrix}   
cos135^O    &   -sin135^O\\
sin135^O    &    cos135^O
    \end{bmatrix}    \)   \(                     \begin{bmatrix}   
x\\
y
    \end{bmatrix}    \)

得到新椭圆
\(                 \frac{1}{6}  \bullet     \frac{     (-x-y) ^2           }{2}         +   \frac{  1    }{2}     \bullet    \frac{(x-y) ^2     }{2} =1           \)

\(             (-x-y) ^2           +   3(x-y) ^2 =12           \)

\(             (x+y) ^2           +   3(x-y) ^2 =12           \)

\(            4 x^2  +   (2-6) xy     +   4y^2 =12           \)
\(            4 x^2 -4 xy     +   4y^2 -12=0          \)
\(           x^2 - xy     +  y^2 -3=0          \)


不晓得哪里算错啦

dodonaomikiki

吧错误纠正过来！
这样大概应该是对啦！



\(                     \begin{bmatrix}   
X\\
Y
    \end{bmatrix}    \)=\(                     \begin{bmatrix}   
cos45^O    &   -sin45^O\\
sin45^O    &    cos45^O
    \end{bmatrix}    \)   \(                     \begin{bmatrix}   
x\\
y
    \end{bmatrix}    \)

得到新椭圆
\(                 \frac{1}{6}  \bullet     \frac{     (x-y) ^2           }{2}         +   \frac{  1    }{2}     \bullet    \frac{(x+y) ^2     }{2} =1           \)

\(             (x-y) ^2           +   3(x+y) ^2 =12           \)

\(             (x-y) ^2           +   3(x+y) ^2 =12           \)

\(            4 x^2  +   (-2+6) xy     +   4y^2 =12           \)
\(            4 x^2+4 xy     +   4y^2 -12=0          \)
\(           x^2+xy     +  y^2 -3=0          \)

dodonaomikiki

偶尔遇见早先的一个椭圆疑问！
借着本题东风，
瞬间解决！