庚子赔款数学题A7, 变量球穿插固定球

dodonaomikiki

（  有点画法几何的意思）
一个变量球其半径=r,  其球心落在啦固定球的球面上！
固定球的半径=a，请证明：
当\(    r=4a/3   \)的时候，固定球的球面上的“贯穿面积”最大

ataorj

如图的两球相割,AB=定值r,AE=x,求使球冠CDE面积s最大时的[r/x]
s=2π(r+x)(r+x-z)
DF^2=4rr-(r+x)^2
DF^2-(2r-z)^2=(r+x)^2-zz
4rz=2(r+x)^2
2z/r=(1+x/r)^2
s/(2πrr)=(1+x/r)(1+x/r-z/r)=z/r[2-√(2z/r)]
z/r≈0.88883时上式有最大值≈0.59259,又由2z/r=(1+x/r)^2
得x/r≈√(2*0.88883)-1≈0.33329≈1/3

dodonaomikiki

稍作整理！





  \(         AB=定值r  \\
AE=x  \\
求使球冠CDE面积s最大时的x/r    \\
s=2π(r+x)(r+x-z)    \\
DF^2=4rr-(r+x)^2    \\
DF^2-(2r-z)^2=(r+x)^2- 2z   \\
4rz=2(r+x)^2    \\
2z/r=(1+x/r)^2    \\
s/(2π  \bullet   r    \bullet   r  )=(1+x/r)(1+x/r-z/r)=z/r    \bullet      (   2-\sqrt{2z/r}    )   \\
z/r     \approx     0.88883时,  上式有最大值   \approx    0.59259  \\
又由2z/r=(1+x/r)^2    \\
\Longrightarrow   x/r≈√(2   \bullet   0.88883)-1   \\
\approx      0.33329    \\
\approx       1/3  \)

dodonaomikiki

我不晓得错在哪里，
搞出来一个定值!



真是齐啦怪啦

dodonaomikiki

还是有点理解不了！
进行完全包覆，岂不是贯穿面积最大吗？

dodonaomikiki

再作整理！





  \(         AB=定值a  \\
AE=x  \\
求使球冠CDE面积s最大时的x/r    \\
s=2π(a+x)(a+x-z)    \\
DF^2=4a^2-(a+x)^2    \\
DF^2-(2a-z)^2=(a+x)^2- z^2   \\
上面两个式子相减易得  \\
\Longrightarrow           -4az+2(a+x)^2=0    \\
  \Longrightarrow            4az=2(a+x)^2       \\
    \Longrightarrow            2az=(a+x)^2  \\
  \Longrightarrow             2z/a=(1+x/a)^2    \\
s/(2π  \bullet   a    \bullet  a  )    \\
=(1+x/a)(1+x/a-z/a)    \\
=z/a    \bullet      (   2-\sqrt{2}  \bullet  \sqrt{ z/a }   )   \\
这个时候，令\sqrt{z/a}等于一个整体，进行求导！   \\
很容易笑得： z/a= 2 \sqrt{ 2 }/3的时候取得极值     \\
又由2z/a=(1+x/a)^2    \\
\Longrightarrow   x/a=  2  \sqrt{  \sqrt{ 2 }/3   }-1的时候取得极值  \\
\Longrightarrow     r=a+x     \\
=2 a \sqrt{  \sqrt{ 2 }/3   }-a+a     \\
=2 a \sqrt{  \sqrt{ 2 }/3   }的时候，取得极值    \\
也就是说这个时候，球冠面积取到最大值  \)

ataorj

贯穿面在动球上，