\(\Huge^\star\textbf{ 吃屎成痴: 不知}\color{red}{\textbf{发散即不收敛}}\)

elim

发散序列就是不收敛序列, 就是不趋于任何实数因而不趋于任何自然数的序列．\(\{n\}\)发散非常容易证明因而成为数学人的共识．所以\(\lim n\)不是自然数(否则\(\{n\}\)收敛至该数).
没有最笨, 只有更笨 春霞痴劲日见攀升

春风晚霞

自然数列发散这是数学人的共识，但自然数列发散并不能说明\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)！凡《数学分析》教科书都要讲\(n\to\infty\)，若只把\(\infty\)解读成不存在，那么作为数列\(a_n\)的脚标在\(n\to\infty\)也就不存在，于是无论是数列收敛还是发散在\(n\to\infty\)处讨论\(a_n\)的值都没有意义，当然这也不是《数学分析》所需要的。因此，无论是哪家的《数学分析》，都不会否认\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)！其实，这点常识elim还是有的，只不过为了圆【无穷交就是一种骤变】、【1/n永远不等于0】的谎话而拒不承认罢了。

春风晚霞

自然数列发散这是数学人的共识，但自然数列发散并不能说明\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)！凡《数学分析》教科书都要讲\(n\to\infty\)，若只把\(\infty\)解读成不存在，那么作为数列\(a_n\)的脚标在\(n\to\infty\)也就不存在，于是无论是数列收敛还是发散在\(n\to\infty\)处讨论\(a_n\)的值都没有意义，当然这也不是《数学分析》所需要的。因此，无论是哪家的《数学分析》，都不会否认\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)！其实，这点常识elim还是有的，只不过为了圆【无穷交就是一种骤变】、【1/n永远不等于0】的谎话而拒不承认罢了。

春风晚霞

自然数列发散这是数学人的共识，但自然数列发散并不能说明\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)！凡《数学分析》教科书都要讲\(n\to\infty\)，若只把\(\infty\)解读成不存在，那么作为数列\(a_n\)的脚标在\(n\to\infty\)也就不存在，于是无论是数列收敛还是发散在\(n\to\infty\)处讨论\(a_n\)的值都没有意义，当然这也不是《数学分析》所需要的。因此，无论是哪家的《数学分析》，都不会否认\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)！其实，这点常识elim还是有的，只不过为了圆【无穷交就是一种骤变】、【1/n永远不等于0】的谎话而拒不承认罢了。

春风晚霞

自然数列发散这是数学人的共识，但自然数列发散并不能说明\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)！凡《数学分析》教科书都要讲\(n\to\infty\)，若只把\(\infty\)解读成不存在，那么作为数列\(a_n\)的脚标在\(n\to\infty\)也就不存在，于是无论是数列收敛还是发散在\(n\to\infty\)处讨论\(a_n\)的值都没有意义，当然这也不是《数学分析》所需要的。因此，无论是哪家的《数学分析》，都不会否认\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)！其实，这点常识elim还是有的，只不过为了圆【无穷交就是一种骤变】、【1/n永远不等于0】的谎话而拒不承认罢了。

春风晚霞

        为回应新Berkeley主义的责难，徐利治先生在《论无限》一书提出了〖只要函数的极限存在就一定可达〗的观点。
        数学人都知道，滿足\(\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\)\(\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\)\(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)\)连等式的函数叫连续函数。为记忆方便我们把这个连等式写成\(f(x_0^-)=f(x_0^+)=\)\(f(x_0)\).根据连续函数的定义，易证连续函数在其连续区间内各点都满足〖只要函数的极限存在，就一定可达〗！
       不过函数在某点极限存在，比函数在某点连续条件弱些，即函数在a点极限存在，只要求\(f(a^+)=f(a^-)=定数L\)，于是徐利治先生给出了“可连续化函数”的概念（即采用补充定义的方法，去掉原函数的可去间断点），以及闭区间端点的左右连续概念，使得函数在整个定义域内成为“可连续化函数”（参见徐利治《论无限》P20页，第11至第17行）.根据连续函数在其定义域各点都有\(f(a)=f(a^-)=\)\(f(a^+)\)证得只要函数极限存在，就一定可达)！对于函数\(f(x)=\tfrac{1}{x}\).因为\(f(∞)=f(-∞)=\)\(f(+∞)\)\(=0\)，所以函数\(f(x)=\tfrac{1}{x}\)在\(x\to\infty\)时极限可达！由于\(\mathbb{N}\subset (0,\infty)\)且\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n}\)\(=\)\(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\tfrac{1}{x}=0\)所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)！

春风晚霞

自然数列发散这是数学人的共识，但自然数列发散并不能说明\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)！凡《数学分析》教科书都要讲\(n\to\infty\)，若只把\(\infty\)解读成不存在，那么作为数列\(a_n\)的脚标在\(n\to\infty\)也就不存在，于是无论是数列收敛还是发散在\(n\to\infty\)处讨论\(a_n\)的值都没有意义，当然这也不是《数学分析》所需要的。因此，无论是哪家的《数学分析》，都不会否认\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)！其实，这点常识elim还是有的，只不过为了圆【无穷交就是一种骤变】、【1/n永远不等于0】的谎话而拒不承认罢了。

春风晚霞

        一、关于\(\infty和n\to\infty\)的定义：
         根据Weierstrass 极限定义:\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=a\)\(\iff\)\(对\forall ε>0，当n>\)\(N_ε时，有|x_n-a|<ε\)可得如下定义:
        〖定义1:〗对于任意给定的无穷小量ε，称集合\(\{n|n>N_ε，N_ε\in\mathbb{N}\}\)为无穷大，记为\(\infty\).
        〖定义2:〗\(若自然数\forall k\in\{n|n>N_ε，N_ε\in\mathbb{N}\}\)，则称\(k\)趋向于无穷大，记为\(k\to\infty\).
        根据定义1和定义2，易知:
        \(\mathbb{N}=\{n|n\le N_ε，N_ε\in\mathbb{N}\}\cup\{n|n>N_ε，N_ε\in\mathbb{N}\}\).
         elim，Weierstrass 极限的“ ε—N”定义，任何一本讲极限的教科书上都有介绍。其符号表达式\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=a\)\(\iff\)\(对\forall ε>0，\exists\)正整数\(N_ε\)，\(当n>\)\(N_ε,有|x_n-a|<ε\)参见同济大学《高等数学》第七版 上册P21页第25行。由于ε是任意给定的无穷小量，所以\(N_ε(=\tfrac{1}{ε})\)则为无穷大量，其依据是无穷小量与无穷大量互为倒数关系，所以称集合\(\{n|n>N_ε，N_ε\in\mathbb{N}\}\)为无穷大，并记为\(\infty\)是自洽的。虽然elim不看好这两个定义，但这两个定义仍是规范严谨的。同时定义1基础上的定义2也对\(n\to\infty\)作出了定量描述。总之定义1和定义2不但给出了出处，也对Weierstrass 极限的“ ε—N”定义也作了更深层次地思考，比起e氏的\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=Sup\mathbb{N}\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=Max\mathbb{N}\)……等定义严谨多了。elim攻击、谩骂了我两年多；\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\infty\)用了不少于万次，但至今也没有给出什么叫无穷大，什么叫趋向于无穷大。所以elim关于无穷大的一切论证都是扯淡！
        二、关于\(\mathbb{N}\)是无限集，所以\(\mathbb{N}\)必含无穷数地推导
       【证明】设自然数列\(\{a_n\}\)的通项公式为：\(a_n=n\),由于\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n}=0\),所以对\(\forall ε>0，\exists\)正整数\(N_ε\)，使\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(\in\) \(\{n|n>N_ε，N_ε\in\mathbb{N}\}\)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)!所以既然\(\mathbb{N}\)是无限集，那么\(\mathbb{N}\)就必含无穷数。
        春风晚霞提请众网友注意：最小无穷序数\(\color{red}{\omega是最小超穷数，不是最小无穷}\)\(\color{red}{数!}\),最小无穷基数\(\color{red}{\aleph_0，也不是最小无穷数!}\)，因为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)……远小于\(\omega\)或\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)……远小于\(\aleph_0\)!所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)……属于\(\mathbb{N}\)!还有陶哲轩或AI所说“每个自然数都是有限数”的“限“是指每个自然数的后继！有限基数的“限”是指最小无穷基数\(\aleph_0\)!并且【自然数皆有限数】只能勉强算作是自然数的一个特殊性质，不能算作自然数的定义。

elim

发散序列就是不收敛序列, 就是不趋于任何实数因而不趋于任何自然数的序列. \(\{n\}\)发散非常容易证明因而成为数学人的共识. 故\(\lim n\)不是自然数(否则\(\{n\}\)收敛至该数).
没有最笨只有更笨春霞痴态日见攀升

春风晚霞

自然数列发散这是数学人的共识，但自然数列发散并不能说明\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)！凡《数学分析》教科书都要讲\(n\to\infty\)，若只把\(\infty\)解读成不存在，那么作为数列\(a_n\)的脚标在\(n\to\infty\)也就不存在，于是无论是数列收敛还是发散在\(n\to\infty\)处讨论\(a_n\)的值都没有意义，当然这也不是《数学分析》所需要的。因此，无论是哪家的《数学分析》，都不会否认\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)！其实，这点常识elim还是有的，只不过为了圆【无穷交就是一种骤变】、【1/n永远不等于0】的谎话而拒不承认罢了。