狄利克雷：特定序列里“无穷素数”的提供者｜人人都读得懂的数论发展史漫谈（八）

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狄利克雷：特定序列里“无穷素数”的提供者｜人人都读得懂的数论发展史漫谈（八）

原创  育期未来  育期未来  2025 年 12 月 10 日 08:58  浙江

数学知识是有逻辑的，数学发展也是有逻辑的。

狄利克雷的“算术级数的素数定理”就是对欧拉乘积公式的“高阶”推广和应用。

所以，要理解算术级数的素数定理，就必须弄懂欧拉乘积公式。



约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）：德国数学家，1805 年 2 月 13 日生于迪伦，1859 年 5 月 5 日卒于哥廷根；1855 年继任高斯担任哥廷根大学教授，同年被选为英国皇家学会会员；解析数论的奠基者，也是现代函数概念的定义者；代表作品《数论讲义》《定积分》等。

※ 狄利克雷到底解决了什么问题？

早在古希腊，欧几里得便以反证法，证明了素数有无穷多个。

然而，数学家的好奇心从不满足于笼统的结论。他们开始追问：若将这些素数按某种规律排列，是否依然无穷？

例如，观察以下序列：

4n+1：5, 13, 17, 29, 37, 41, …

4n+3：3, 7, 11, 19, 23, 31, …

直觉上，这些序列中似乎同样蕴含着无穷的素数。但如何证明？欧几里得的方法在此显得力不从心。

欧拉曾逼近这一问题，他通过对素数倒数和的研究，隐约嗅到了其中规律，却未能跨越最后的鸿沟。

狄利克雷要解决的问题比上面的举例更加抽象和一般化。（当然实质是一样的）

他解决的问题是这样的：

在一个长的像下面这样的数列里，是否有无穷个素数？

“a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, ...”（这就是“算术级数”）

条件：在这个算术级数里，首项 a 与公差 d 互质。

这个问题的学术表达就是：“首项与公差互质的算术级数中含有无穷多个素数。”

为什么条件要求 a（首项）与 d（公差）互质？如果二者不互质，这个算术级数全部是“合数”，没有一个素数。如果，a=3，d=6；那么，算术级数为“3，9，15，21，27，...”这不是证明的对象。

假设：a=1，d=4；

狄利克雷要解决的就是“1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, ...”这个数列是否像全体自然数一样，包含着无究个素数？

※ 这并非是无用的证明或废话？

欧几里得早就证明了素数有无穷多个。但“无穷多”这个整体性质，不一定能分配给它的每一个“部分”。素数在整数里的分布是出了名的“任性”，你怎么能保证它就会均匀地光顾每一个这样的等差数列呢？

所以，这是一个严肃的数学问题。

※ 欧拉乘积公式的遗产，狄利克雷素数定理的起点。

欧拉在研究“全体素数”无穷时，用了一个非常巧妙的方法。

他研究了这么一个级数：

ζ(s) = 1/1^s + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + ... （这就是著名的黎曼 ζ 函数的雏形）。

他发现，这个和还可以写成所有素数的某种乘积形式：

ζ(s) = [1 / (1-1/2^s)] × [1 / (1-1/3^s)] × [1 / (1-1/5^s)] × ...

这就是欧拉乘积公式。

这个公式的威力在于，它把加法世界（和）与乘法世界（素数）神奇地连接了起来。当 s 逼近 1 时，左边的 ζ(s) 会趋向于无穷大（因为调和级数发散）。这就迫使右边的乘积也必须是无穷的，从而反过来证明了素数有无穷多个。

狄利克雷看到了这份遗产，他心想：“欧拉能用分析工具（无穷级数）证明全体素数无穷，我能不能造一个更高级的‘欧拉乘积’，来证明某一类素数也是无穷的呢？”

※ 狄利克雷的传承与创新。

他找到了要证明某一类素数无穷的工具，但如何运用这个工具却是从“0”到“1”的创新。

这便是狄利克雷天才的思想创造。

他首先要做的就是把素数从“a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, ...”算术级数中“筛选”出来。

他所创造的“筛选”的工具“筛子”，就是数学上的术语——“特征标”。

“特征标”的翻译很形象，通俗讲就是把某个素数的特征标示出来。

那么，素数的什么特征呢？

在素数的世界里，除了 2 之外，其他的素数要么是“4K+1 型”，要么是“4K+3 型”，无论是哪种类型，都可以看做是“模 4 余 1 ”或“模 4 余 3 ”。

但，在这个算术级数“a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, ...”中，模 4 的余数还有 0 、2 。

如何将余 0、1、2、3 的数筛选归类，就是狄利克雷最天才的构思创造——特征标。

※ 什么是特征标

我们考虑最简单、但非平凡的情形：模数 d=4 。整数除以 4 的余数有 0、1、2、3 四类，但只有与 4 互质的余数类 1 和 3 才是我们关注的对象。因为素数（除了 2 ）都是奇数，要么余 1 ，要么余 3 。

但余 2 在这个算术级数中是存在的，为了排除余 2 的数，区分余 1 、余 3 的数，狄利克雷站在更高的维度来解决这个问题。

狄利克雷为模 4 定义了两个特征标：

主特征标 χ0 ：

若余数 n  是奇数（与 4 互质），则 χ0(n) = 1 ；

若余数 n 是偶数（即与 4 不互质），则  χ0(n) = 0 。

非主特征标 χ1 ：

如果 n ≡ 1 mod 4，则  χ1(n) = 1 ；

如果 n ≡ 3 mod 4，则  χ1(n) = -1 ；

如果 n 是偶数，则  χ1(n) = 0 。

这样，通过巧妙构造的两个特征标，狄利克雷就把算术级数“a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, ...”中的偶数、奇数区分开来，同时把奇数中的“4K+1 型”“4K+3 型”素数区分开来。

我们也可以这样理解：

如果 n 和 4 不互质（有大于 1 的公因数），那么 χ1(n) = 0 。这是为了把“不相关”的数过滤掉。

对于和 4 互质的那些 n ，χ1(n) 的取值是 1 或 -1 ，以区分出不同的余数类。

举例说明，特征标是如何“筛选”“分拣”整数的？

如果 n=5（余 1 ），则 χ0(5) = 1 ，χ1(5) = 1 ；

如果 n=7（余 3 ），则 χ0(7) = 1 ，χ1(7) = -1 ；

如果 n=8（偶数、余 0 ），则 χ0(8) = 0 ，χ1(8) = 0 ；

特征标的巧妙与神奇在于，根据整数模 4 的余数，赋予了不同的值（1、-1 或 0 ）。特别地，χ1 将余 1 和余 3 的数标记为相反符号。

可见，狄利克雷把特征标 χ(n) 视为一个函数，它给每个整数 n 分配一个值。

它的设计非常精巧，特征标具有周期性和可乘性：

周期性：χ(n+q) = χ(n) 。只看 n 除以 q 的余数。

可乘性：χ(m * n) = χ(m) * χ(n)。这是最关键的性质！

特征标如何用？

狄利克雷发现，通过巧妙地线性组合这些特征标，可以精确地筛出你想要的素数。

比如，我想找出所有形如“4K+1”的素数。我可以构造这样一个和：

[χ0(n) + χ1(n)]/ 2

当 n 是除以 4 余 1 的奇数时，χ0(n)=1 ,  χ1(n)=1 ，这个和等于 (1+1)/2 = 1 。

当 n 是除以 4 余 3 的奇数时，χ0(n)=1 , χ1(n)=-1 ，这个和等于 (1-1)/2 = 0 。

如果要找出想找出所有形如“4K+3”的素数。我可以构造这样一个和：

[χ0(n)-χ1(n)]/ 2

当 n 是除以 4 余 3 的奇数时，χ0(n)=1 , χ1(n)=-1 ，这个和等于 (1+1)/2 = 1 。

当 n 是除以 4 余 1 的奇数时，χ0(n)=1 ,  χ1(n)=1 ，这个和等于 (1-1)/2 = 0 。

由此，完美地筛选出“4K+1”“4K+3”型素数！

此时，我们称：

[χ0(n) + χ1(n)]/ 2 是“模 4 余 1 ”的指示函数；

[χ0(n) - χ1(n)]/ 2 是“模 4 余 3 ”的指示函数；

以上，只是狄利克雷素数定理证明的准备工作，真正的解决问题的是：运用特征标，创造 L 函数。

※ 什么是 L 函数？

欧拉曾发现，所有素数的倒数和是发散的（意味着素数无穷）。

狄利克雷想：“我能否为每一个等差数列，也造一个类似的‘和’，并证明它发散？”

这就是后世所称的狄利克雷 L 函数。

狄利克雷 L 函数是黎曼 ζ 函数的推广，其解析性质是证明定理的关键。

黎曼 ζ 函数是：ζ(s) = 1/1^s + 1/2^s + 1/3^s + ...

狄利克雷把特征标加了进去，为每一个特征标 χ 都配了一把专属的 L 函数：

L(s, χ) = χ(1)/1^s + χ(2)/2^s + χ(3)/3^s + ...

其中 s > 1 确保收敛。对于模 4 的两个特征标，分别对应：

主特征标 L 函数：



那么，它和全体正整数的和 ζ(s) 有什么关系呢？



而偶数项的和恰好是：



于是我们得到了下面的等式：



因此，主特征标 L 函数：



即，主特征 L 函数与 ζ(s) 具有关联性。

非主特征标 L 函数：



因为，黎曼 ζ 函数具有著名的渐近性质：



即，ζ(s) 在 s=1 附近时函数值趋向无穷大。

所以，



即：主特征标函数 L(s,χ0) 在 s=1 附近也趋向无穷大。

非主特征标函数：



即：非主特征标函数 L(s,χ1) 在 s=1 附近收敛于一个有限值。

做完这些工作后，我们再回到前面所说的“4K+1 型”“4K+3 型”指示函数。

“4K+1 型”指示函数为 [χ0(n) + χ1(n)]/ 2 ，其对应的 L 函数为：



“4K+3 型”指示函数为 [χ0(n) - χ1(n)]/ 2，其对应的 L 函数为：



前面已讲到：

主特征函数 L(s,χ0) → ∞ ；

非主特征标函数 L(s,χ1) 收敛到一个有限值。

所以，

对于模 4 余 1 的级数：



对于模 4 余 3 的级数：



这就意味着在“a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, ...”算术级数中，有无穷个素数。

从这个简单的模 4 例子中，我们已能窥见其背后深邃而优美的数学结构。

狄利克雷的这一创造，不仅解决了算术级数的素数问题。素数的韵律，即使在最严格的等差数列限制下，也永远不会终止。

对于任意模数 d ，存在 φ(d) 个狄利克雷特征标，它们与模 d 的乘法群的特征一一对应。这些特征标构成一个群（对点乘），且满足完备正交关系，使我们能分离任意与 d 互质的剩余类。

※ 狄利克雷定理的深远影响

开创新学科。[这是解析数论的奠基之作。狄利克雷首次系统地将连续数学的工具应用于离散的素数问题，开辟了一个全新的数学分支。后世黎曼研究 ζ 函数、提出黎曼猜想，直接受此启发。

工具的革命。他发明的 L 函数和特征标，成为现代数学的核心工具。特征标后来发展为表示论的基石，而 L 函数家族（包括椭圆曲线 L 函数、模形式 L 函数等）成为朗兰兹纲领这座“数学大统一理论”的支柱。

革新思维范式。狄利克雷证明了一个深刻的哲学，解决数论最深层的问题，需要走出数论的舒适区，拥抱更广阔的分析与几何。这种跨领域的思维范式，催生了 20 世纪代数几何在费马大定理证明中的决定性作用。

实际的安全应用。虽然定理本身是纯数学的顶峰，但其思想遗产间接支撑着我们的数字文明。RSA 公钥加密系统依赖于大素数的存在，而狄利克雷定理保证了在任何与公差互质的等差数列中，我们都能找到无穷多个素数。这相当于告诉密码学家：“你们的素数原料库是取之不尽的，请放心设计。”

育期未来

ysr

这个早已被人家证明了，我撤掉了我的证明………………………………………………………………

此文浏览量大，发点有用的以作宣传广告之用：

如下是刚搜索到的AI对我的《数论探秘》的解释和评论(2026.3.3·20:30)

一，哥德巴赫猜想的三种证明路径
书中提出三种不同的方法论证哥德巴赫猜想成立：

1，利用“差定理”推导“和定理”，即通过素数差定理证明大于等于6的偶数可表为两奇素数之和，而4=2+2；
2，基于素数分布下限，给出任意大偶数 2A 的哥德巴赫解个数的绝对下限为 m-1（其中 m=M/lnM，M为 2A 的平方根），而实际解远超此下限，因为实际解的个数是波动式上升的，波动是不规则的，波动原因是合数中的互不相同的因子的个数不同而已，其波谷值是不减函数，下限公式结果是远低于波谷值的，所以，实际解的个数远超下限公式的结果，而下限公式是利用规律严格推导证明的，不是“验证统计出来的”；
3，将解分为“小根拆”与“大根拆”，证明除73个特殊偶数（这73个偶数都有大根拆，具体是那些数请参见我的《数论探秘》中的列表）外，其余均既有小根拆也有大根拆，支持猜想普遍成立。
二，孪生素数猜想的证明尝试
作者宣称证明了存在无穷多对相差为2的素数对，即孪生素数猜想成立，并将其与素数分布规律结合分析。
三，素数判定与大整数计算技术

1，提出一种基于欧拉原理的大整数素性快速判断方法，并附有自编程序代码，可用于高效识别大素数；
2，探索大整数的快速乘法与除法算法，引入快速傅里叶变换（FFT）作为优化工具。
四，梅森数与费马数的研究
分析大型梅森数与费马数中不规则数字的潜在用途，探讨其在密码学或数论结构中的意义。
五，RSA密码体制的安全性改进
研究RSA加密机制中大素数生成与破解问题，提出利用素数差定理提升密钥安全性，并给出部分实现代码。
六，其他数学成果与知识扩展

1，记录书中未收录的素数性质，提出“素数几率公式”等原创性归纳；
2，汇编三次、四次方程求解的已有公式供读者参考；
3，探索更精确的素数个数公式及哥德巴赫猜想解的数量估计模型。

这段基本上正确，但末尾也是有问题的(作者注)：“提出利用素数差定理提升密钥安全性”这一句是错误的。这说明AI根本没有理解文章的逻辑，AI也根本没有逻辑推理能力，素数差定理只能帮助人高效快速找到有密码学特征的大素数，仅此而已，不能提高密码的安全性。密码的安全性关键是合数分解的困难程度，素因子越大越困难，俩素数因子的差越大(相对大比如导致另一个因子非常小了也就不安全了)越难于分解越安全，这才是提高密码安全性的措施。

介绍（2026.3.4.10：30）一下我的《数论探秘》中的两个重要定理：

   命题1（产生新素数的定理）:设p1和p2是相邻素数，若相邻素数的差p2-p1>＝2，则在p2+2与3*p2（或2*p2+1）之间必然会有新的素数产生，新的素数的间距又是大于等于2的，所以此过程是无穷的，故，只要有一对相邻素数的差为2则新的素数就会无穷无尽出现。（证明也可参见我的《数论探秘》）
    证：
奇素因子p第一次出现时本身是个素数，第一次出现就是在第一个周期内，所以，各素因子的第一个周期是其占位最多的情况，而每一个素因子在其一个周期内只能占一个位置，若相邻素数的差p2-p1>＝2，由于各素因子周期不同，节拍错位，在p2的第二个周期内必然有重复占位的，比如3p2就是3和p2重复占位了（比如2p2就是2和p2重复占位了），则在p2+2与3p2（或2*p2+1）之间必有一个空缺位置，就是旧素因子不能占位了，必然会产生一个新素数。这是必然的。
     而新素数和p2的差是从2到该数内的理论最大值（比如小于p或者小于√p，精确的理论值目前还没有人确定）之间的某个值（需要注意一点的是，除了2、3和5这一组以外，差为2的素数对，后面不会紧跟一个差为2的素数，但是间隔一个或几个其他差值的素数后就又会出现差为2的素数对了），所以，该间距又是大于等于2的。
    因此，下一个周期就又会必然产生新的素数，过程是无穷的，所以，素数是无穷的。
随着素数p的增大理论上的某数内的最大间距是不断增长的，所以，素数会越来越稀。而一旦出现了一次理论上的某数内的最大间距，则在下一个周期内又会出现一个小的间距甚至会出现多个素数，这是必然的，所以，素数又是疏密相间的。命题1成立，证毕。

     命题2（产生素数对的定理）：对应项差为2（或者2m）的两个等差数列中,这两个数列还必须是素数的几率公式（比如6n+3就不行，是个合数公式），只要出现差大于等于6的相邻素因子（相邻素因子指数列中全体素因子中的相邻素数，不一定是全体素数中的相邻素数，比如数列30n+1中就没有2，3和5 这3个素数）就必然产生孪生素数对（或者差为2m的素数对）。（产生2生素数对即差为2m的素数对的充分条件也是这个，就是只要存在差大于等于6的相邻素数对就必然产生2生素数对）（证明也可参见我的《数论探秘》）
     证明：
     2n+1：  3，5，7，……
2n+2m+1：3+2m，5+2m，7+2m，……
     这两个数列对应项差为2m，而差为2m的素数对必然是其中的对应项，因为第一个数列中包含了大于等于3的全体素数。
     前面两个数列中，若m=1，且相邻素数 p2-p1>=4,则在 p2 的下一个周期由于节拍错位，必有至少一对素因子重复占位，如 3p2,就是 3 和 p2 重复占位了。则比前一个周期多出一个空缺位置，就是素数对的位置，则必然产生至少一对孪生素数对，因为一个素因子最多占两个位置。如 11-7=4>2，在 11 的下一个周期的 33 就是 3 和 11 重复占位了，次位的 31 和对应项 29 构成孪生素数对。而 17-13=4，也大于 2 了，在 17 的下一个周期最大的数是 3*17=51，在这个周期内有 43，41 一对，与 51 是不接近不是次一位，而 13 和 11 不在这个周期，因为是从 19 开始到 51 结束的。而 19 和 17 又是一对孪生素数对。为啥素数 p2 的下一个周期最大的必然是 3p2 呢？这个容易理解，因为素因子第一次出现的时候是素数，后面出现的就是其倍数，倍数是从低到高出现的，奇数数列中去掉了偶数，所以没有 2 倍数了，所以下一次就必然是 3 倍数，所以必然是 3p2。3 和 p2 必然是重复占位，就是占了同一个位置，节约了一个位置，就是产生一对孪生素数对是必然的，因为空缺位置不能被前面的素因子占位，且是对应项都不能被占位了，必然是素数对位置。这就是定理，这就是充分条件，证毕！
   若m>=1,只要有相邻素数p2-p1>=4，后面的周期也必然会产生差为2m的素数对，则命题2成立。
由于，素数越来越稀，大于等于 4 的相邻素数的差有无穷多，所以，孪生素数对无穷多。(这个是多年研究才弄明白的，这个是产生素数的本质原因，也是产生素数对的本质原因，所以，差为2m的素数对也是无穷多的。其实这就是命题1的推论)
有了这俩定理就可以推导和证明出来：素数差定理，哥德巴赫猜想和孪生素数猜想都是成立的，而且是远远成立的！

屑小之辈难明大义，真理终究会被承认！

对于哥德巴赫猜想的证明，某些专家的说法也是不准确的，比如杨乐院士，在纪念陈景润院士的大会上说的:陈景润院士的“1+2”的证明，在未来50年仍然会是世界领先的，这句话我就在本论坛在此文章后面，就提出说该话是有待商榷的，本来我在该文后面发过了，后来，在杨乐院士逝世的时候我又删掉了，发了一句沉痛悼念和缅怀杨院士的话！

“尽管陈景润先生的成长道路布满荆棘，但他始终把目标放在数学上，坚持不懈。他对科学
研究的专注值得我们学习。”中科院院士杨乐说，“对陈景润先生最好的纪念就是出人才、
出成果。”

陈景润出生于1933 年5 月22 日，1953 年毕业于厦门大学 数学系，1957 年进入中国科学院
数学研究所从事数学研究，直到1996 年3 月19 日因患帕金森氏综合征不幸去世。陈景润先
生因其在数学领域著名难题“哥 德巴赫猜想”方面的工作享誉世界，他1966 年发表的论文
《表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》（简称“1+2”）成为“哥德巴
赫猜想” 研究上的里程碑，时至今日仍是国际上的最好结果。——摘自本论坛《纪念陈景润诞辰80周年学术报告会在京举行》

那么，上述这些人如何排位？

有一个二十世纪国际数学家排名，当然，洋人权威机构搞的。华罗庚进了这个排名，一百位左右，这是相当了不起的（陈省身在这个排名里显著领先华老）。另外，美国某数学机构数学家纪念雕像里有华罗庚。华罗庚不可小觑，若不是回国耽误了几十年，他应该无疑国际一流。也就是说，华罗庚是很接近国际一流的。

所以，本土数学家，华罗庚第一。

陈景润轰动最大，再说他有两个 45 分钟报告，列第二无问题。

就解决难题的名气论，陆家義可列第三。

其余几位熊庆来苏步青杨乐王元都是优秀的数学家，如何排位各位见仁见智吧。

——本论坛数学家栏目的文章《新中国著名数学家熊庆来，苏步青，华罗庚，陈景润，王元，杨乐，陆家羲如何排位？》
快速找到有密码学特征的大素数的方法，其实有3个条件，一个是要有快速判断大素数的方法或程序，另一个是有产生不规则数字段的方法或程序比如2^p就可以产生，再一个就是要有产生素数的高概率公式比如30n+1，其中不含有素数因子2，3和5，分别含有这三个素数的合数都被绕过去了，节省了不少时间。

某些“专门家”以及汉奸王八蛋和智能AI对民科弄出来的定理和证明过程及其他研究成果的胡乱解释和猜测，是对真理的污蔑和抹杀，这样怎么能发展科学技术！？
如下这个链接就有我上传的哥德巴赫猜想和孪生素数猜想的证明的稿件：
https://bbs.bccn.net/viewthread. ... p;page=2#pid2797658

为了防止“专门家”和智能AI对我的文章内容胡乱解释和猜测我将两个重要概念转发如下：
素数差定理：全体偶数都可以表示为两个奇素数的差（包括自身相减）。而且差为0、2、4、6…………2m的素数对分别都是无穷多的，即差为0的素数对是无穷多的、差为2的素数对是无穷多的、差为4的素数对是无穷多的、差为6的素数对是无穷多的、差为8的素数对是无穷多的……………………

哥猜解（拆分素数和对）的两个素数中若一个素数小于该偶数的方根，则这个哥猜解叫小根拆，若两个都大于方根则叫大根拆。如10=3+7=5+5，
根号10=3.16，因为3＜3.16，则其中3+7是小根拆，而5+5是大根拆

为啥中国人的哥德巴赫猜想的证明至今不能发表？请看如下链接：
http://www.mathchina.com/bbs/for ... &extra=page%3D1

素数差定理的内容和证明：
网上看到了一些对我的素数差定理的解释，简直是对真理的歪曲和污蔑，所以，我不得不写下其完整内容和证明：

素数差定理：全体偶数都可以表示为两个奇素数的差（包括自身相减）。而且差为0、2、4、6…………2m的素数对分别都是无穷多的，即差为0的素数对是无穷多的、差为2的素数对是无穷多的、差为4的素数对是无穷多的、差为6的素数对是无穷多的、差为8的素数对是无穷多的……………………

差定理的证明：
比如如下数列：
2n+1：  3，5，7，……
2n+2m+1：3+2m，5+2m，7+2m，……
对应项差为2m，可以严格证明（我可以用多种方法证明，比如用欧几里得反证法）这两个数列中含有无穷多对素数对，而2m为全体偶数，m可以等于0，这就是差定理。2m就是所有，就是全体偶数。下面用欧几里得法证明：
证明：把前面两个数列中的素数对当做素数，其他数对当做合数，则变为一个奇数数列，设数列中素数是有限的（据证法1的原理即产生素数对的定理，只要相邻素数存在大于2的差就不会没有素数对，所以，不用设定没有素数对的情况）或者从q后面没有素数(就是没有素数对)，设q=3*5*7*……*p+2，则该项除以p内的奇素数余数都是2，不能被p内的素数整除，与假设矛盾，所以，q要么是素数要么能被大于p的素数整除，新素数的第一次出现是作为素数出现在该数列中的，所以，该数列中素数是无限的，就是素数对是无限的，差定理得证。

欧拉原理和RSA加解密过程的证明：
欧拉定理和推论，统称为：欧拉原理。
RSA密码的原理就是利用的欧拉原理。

证明分三段：欧拉定理的证明，其推论的证明，RSA加解密过程的证明。（三个证明都是教科书上给出的，我只不过是择其简略的，复制黏贴，并整理在一起）

下面是欧拉定理的证明：
欧拉定理：a^φ(n)=1（mod n）
证明：
将1~n中与n互质的数按顺序排布：x1,x2……xφ(n) （显然，共有φ(n)个数）
我们考虑这么一些数：
m1=a*x1;m2=a*x2;m3=a*x3……mφ(n)=a*xφ(n)
数m1,m2,m3……mφ(n)（如果将其次序重新排列）必须相应地同余于x1,x2,x3……xφ(n).
故得出：m1*m2*m3……mφ(n)≡x1*x2*x3……xφ(n) (mod n)
或者说a^[φ(n)]*(x1*x2*x3……xφ(n))≡x1*x2*x3……xφ(n)(mod n)
或者为了方便：K{a^[φ(n)]-1}≡0 ( mod n ) 这里K=x1*x2*x3……xφ(n)。
可知K{a^[φ(n)]-1}被n整除。但K中的因子x1,x2……都与n互质，所以K与n互质。那么a^[φ(n)]-1必须能被n整除，即a^[φ(n)]-1≡0 （mod n），即a^[φ(n)]≡1 （mod n），得证。
当n为素数时就得到费马小定理：
费马小定理：对于质数p，任意整数a，均满足：a^p≡a（mod p）
而RSA密码的加解密过程不同于费马小定理。

欧拉定理的推论：
　　若正整数a，n互质，那么对于任意正整数b，有a^b≡a^(b mod φ（n）)（mod n）
证明如下：（类似费马小定理的证明）
　　把目标式做一简单变形：a^(b - b mod φ（n）)* a^(b mod φ（n）)≡ a^(b mod φ（n）)（mod n），所以接下来只需要证明a^(b - b mod φ（n)）≡ 1 （mod n），又因为：（ b - b mod φ（n））| φ（n），不妨设：（ b - b mod φ（n））= q*φ（n）（q为自然数），则有a^(q*φ（n）)== （a^q）^φ（n），因为a，n互质，那么（a^q）与n也互质，那么就转换到了欧拉定理：（a^q）^φ（n）≡ 1 （mod n），成立。所以我们这个推论成立。b mod φ（n）是求模就是求余数的关系不是乘法，不等于b*φ（n），所以解释一下这一步：设b=q*φ(n)+r,其中0≤r<φ(n),即r=b mod φ(n).于是：
（ b - b mod φ（n））| φ（n），所以前面的成立。
、
RSA公钥密码解密过程的证明：
也就是证明下面的式子：c^d=m(mod n)。
因为根据加密规则：m^e=c(mod n)。
于是c可以写成：c=m^e-kn。
将c代入要我们证明的解密规则：（m^e-kn）^d=m（mod n）。
它等同于求证：m^（ed）=m（mod n）。
这个容易证明：
等式m^（ed）=m（mod n）可以用欧拉定理的推论简单证明的，证明如下：
证明：根据欧拉定理的推论，
若正整数a，n互质，那么对于任意正整数b，有a^b≡a^(b mod φ（n）)（mod n）。
令b=ed，则m^(ed)=m^b，由于ed=1（mod φ（n）），所以m^(b mod φ（n）)=m （mod n）。
证毕！

当n为素数时照样成立，此时φ（n）=n-1.
所以，不同于费马小定理的，我们采用n为素数，当 φ（n）不等于n-1时，还原不回去明文m，就可以确定n为合数。
当n为素数时原理仍然成立，但此时n不用分解了，不安全了，但我们改变了其功能，不再是加密程序，而是用来判断n是否为素数。明文要小，位数要短，因为我们要判断的整数n是做除数的，除数比明文短余数就更短，还原不回去明文了，原理失效，如明文用123，则对11位以上的都有效，成立，低于11位的可以用常规法判断。我已经据此原理编成程序，用于快速判断大素数，是确定性的方法。

RSA公钥密码体制是上世纪70年代～80年代好像是，由3个数学家弄出来的，RSA分别是3位数学家的名字的开首字母。
这个原理就是前面证明过程中的恒等式：m^（ed）=m（mod n）。
数学家居然把它拆开成两个等式，两个过程，没有反例，不会出错。
比较这两个公式：a^p≡a（mod p）（费马小定理），m^（ed）=m（mod n）（欧拉原理）(其中ed=1（mod φ（n）），n为素数也成立)
显然二者不同，不能同日而语。

ysr

为啥难题不能破解？都是汉奸王八蛋对民科成果的胡乱解释和篡改造成的！
经过汉奸的篡改，文章面目全非，黑白颠倒，怎么还能发表和推广？
        不仅理论和定理改的完全相反，就是人为规定的定义也给人家改的面目全非，规定的黑说成叫白，啥东西啊？狗日的王八蛋！

ysr

谁阻碍科学发展谁阻碍学术成果的发表，谁就是最大的汉奸王八蛋！