O 是圆心，DE 是直径，OD=1，A,B 在半圆上，a=DA，b=AB，c=BE，证 a+b+c≤√(12-3abc)

wintex

請問數學

波斯猫猫

题：O 是圆心，DE 是直径，OD=1，A,B 在半圆上，
a=DA，b=AB，c=BE，证 a+b+c≤√(12-3abc) .

思路：分析法. 如主帖图，顺时针旋转，各中心角分

别为2α，2β，2γ，则a=2sinα，b=2sinβ，c=2sinγ.

∴ 欲证a+b+c≤√(12-3abc)，只需证

(2sinα+2sinβ+2sinγ)^2≤12-24sinαsinβsinγ，

即(sinα+sinβ+sinγ)^2≤3-6sinαsinβsinγ，或

(sinα+sinβ+sinγ)^2+6sinαsinβsinγ≤3，或

(sinα+sinβ+sinγ)^2+2 (sinα+sinβ+sinγ)^3/9≤3.

又只需证sinα+sinβ+sinγ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]+sinγ

≤2sin[(α+β)/2]+cos(α+β)   (α+β+γ=π/2)

=2sin[(α+β)/2]+1-2{sin[(α+β)/2]}^2≤3/2，

∴ (sinα+sinβ+sinγ)^2+2 (sinα+sinβ+sinγ)^3/9≤3.

luyuanhong

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