这个数字让人类困惑了 2000 年，直到 19 世纪才搞清楚它是什么！

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这个数字让人类困惑了 2000 年，直到 19 世纪才搞清楚它是什么！

原创  Mqasir 123 科学羊  2025 年 12 月 10 日 07:15  广东



大家好，我是科学羊。

画一个正方形，边长是 1 。

现在量一下它的对角线。

你会得到一个数字：√2 。

看起来很简单，对吧？但这个简单的数字，曾经让古希腊最聪明的数学家陷入绝望，甚至可能导致发现者被处死。

更重要的是：√2 的出现，彻底颠覆了人类对"数"的理解，引发了数学史上第一次基础危机。

直到 2000 多年后，19 世纪的数学家才真正搞清楚：√2 到底是什么。

今天我想和你聊聊这个故事。它关乎数学的本质，也关乎人类认知的极限。

古希腊人的美梦：宇宙是由分数构成的



公元前 6 世纪，古希腊。

毕达哥拉斯和他的追随者们相信一个美好的愿景：整个宇宙可以用整数和分数来描述。

什么意思？

就是说，任何数字，都可以写成两个整数的比例。比如：

● 0.5 = 1/2

● 0.75 = 3/4

● 0.333... = 1/3

这些数字，我们现在称之为有理数。

毕达哥拉斯学派认为：有理数就是全部。宇宙中不存在无法表达成分数的数字。

这个信念不仅是数学观点，更是他们的哲学信仰。他们相信，数的和谐构成了宇宙的秩序。整数和分数是完美的、神圣的、可以解释一切的。

但有一天，他们遇到了一个看似简单的几何问题。

那个要命的正方形

想象你画了一个边长为1的正方形。

现在你想知道：它的对角线有多长？

根据勾股定理（毕达哥拉斯定理）：

          1^2 + 1^2 = (对角线)^2

所以：

          (对角线)^2 = 2

因此：

           对角线 = √2

问题来了：√2 能不能写成一个分数？

毕达哥拉斯学派的数学家们开始尝试。

他们试了 1/1（太小了，平方等于 1 ）。

他们试了 3/2（太大了，平方等于 2.25 ）。

他们试了 7/5（接近了，平方等于 1.96 ）。

他们试了 17/12（更接近了，平方等于 2.0069...）。

但无论怎么试，都找不到一个分数，它的平方正好等于 2 。

然后，有人证明了：这根本不可能。

那个致命的证明

这个证明的思路非常巧妙（也非常残酷）。

假设 √2 可以写成分数，记作 p/q ，并且这个分数已经化简到最简形式（ p 和 q 没有公因数）。

那么：

          p/q = √2

两边平方：

       p^2/q^2 = 2

即：

     p^2 = 2 q^2

第一步推论：p^2 是偶数（因为它等于 2q^2 ）。

如果 p^2 是偶数，那 p 本身也必须是偶数（因为奇数的平方还是奇数）。

所以我们可以写：p = 2k（ k 是某个整数）。

代入原式：

      (2k)^2 = 2q^2  ，4k^2 = 2q^2 ，2k^2 = q^2

第二步推论：q^2 也是偶数（因为它等于 2k^2 ）。

如果 q^2 是偶数，那 q 本身也必须是偶数。

矛盾来了：

我们一开始假设 p/q 是最简分数（ p 和 q 没有公因数）。但现在我们证明了 p 和 q 都是偶数，意味着它们至少有公因数 2 。

这与最初的假设矛盾。

因此，√2 根本无法写成分数。

第一次数学危机：√2 不是有理数



这个证明的出现，震撼了整个毕达哥拉斯学派。

因为它意味着：存在无法用整数和分数表达的数字。

古希腊人的美梦破碎了。宇宙不是由有理数构成的。

“这是数学基础的第一次危机。”约翰·贝尔说，他是加拿大西部大学的名誉教授。

但更尴尬的问题来了：√2 不是有理数，那它是什么？

古希腊人能够确定 √2 不是分数，但他们无法解释 √2 到底是什么。他们没有语言、没有概念、没有工具来描述这种“新数字”。

这就像你发现了一个东西，你知道它不是苹果、不是橙子、不是任何你认识的水果，但你不知道它到底是什么。

这种认知上的空白，持续了 2000 多年。

漫长的沉默：没人知道 √2 是什么

从公元前 6 世纪到 19 世纪，整整 2000 多年，数学家们都在和无理数“和平共处”，但从未真正理解它们。

文艺复兴时期的数学家们在解代数方程时，会操纵他们后来称之为“无理数”的概念。16 世纪和 17 世纪，现代平方根符号 √ 开始使用。

但即便如此，数学家们对无理数的本质仍然一知半解。

√2 是否以与 2 相同的方式“存在”？这一点始终不清楚。

有人认为无理数只是一种“符号”，一种方便计算的工具，而不是真正的“数”。

有人认为无理数是“不完美”的数，是宇宙秩序中的缺陷。

数学家们继续生活在这种模糊性中，直到 19 世纪中叶，一个沉默寡言的德国数学家决定彻底解决这个问题。

戴德金的分割：用有理数定义无理数


数学家理查德·戴德金（左）和格奥尔格·康托尔（右）

1858 年，理查德·戴德金在苏黎世联邦理工学院准备教授微积分。

他在备课时突然意识到一个严重的问题：微积分的基础并不牢固。

当他准备解释“连续函数”时，他发现自己无法给出令人满意的定义。

问题的根源在于：数学家们对“数”的理解太模糊了。

他问自己：你怎么能确定地知道 √2 × √3 = √6 ？这看起来显而易见，但你能证明吗？

戴德金是一位工作缓慢、发表论文相对较少、但才华横溢的数学家。他决定从最根本的地方入手：重新定义什么是“数”。

他的方法非常巧妙：用已知的有理数，来定义未知的无理数。

具体怎么做？

戴德金分割法（Dedekind Cut）：

● 把所有有理数分成两组 A 和 B ，使得：

● A 组中的所有数都小于 B 组中的所有数

A 组没有最大的数

这两组之间的“空隙”，就定义了一个实数。

举个例子，定义 √2 ：

● A 组：所有平方小于 2 的有理数（比如 1, 1.4, 1.41, 1.414, ...）

● B 组：所有平方大于 2 的有理数（比如 2, 1.5, 1.42, 1.415, ...）

这两组之间的“切口”，就是 √2 。

“这是一个非常可爱的想法，”英国华威大学的伊恩·斯图尔特说。“你可以不通过描述无理数来确定无理数，而是通过描述它们所处的空白来确定。”

戴德金证明：你可以用这种方式填充整个数列，首次严格定义了现在所谓的实数（有理数和无理数的组合）。

康托尔的序列：另一种定义方式

大约在同一时期，戴德金的朋友兼对手格奥尔格·康托尔也在思考无理数。

康托尔提出了一个不同的方法：用无限逼近的有理数序列来定义无理数。

比如，定义√2 ：



这个序列“收敛”到 √2 。

康托尔说：√2 就是这个收敛序列所趋近的值。

有趣的是，戴德金和康托尔既是好朋友，又是竞争对手。“他们是好朋友，但彼此憎恨。他们合作，但互不理睬。”以色列开放大学校长、科学史学家利奥·科里说。

后来的研究证明：戴德金的分割法和康托尔的序列法，在数学上是等价的。它们只是从不同角度定义了同一个东西。

康托尔的更大发现：无穷不止一种

康托尔的工作还引导他提出了一个更深刻的问题：存在多少个数？

这个问题乍看之下可能显得有些奇怪。整数有无穷多个——你总是可以不断地加 1 。这是最大的“多”了吧？

但康托尔证明了一个令人震惊的事实：

1. 整数和有理数一样多。

虽然有理数看起来比整数多得多（因为任意两个整数之间有无穷多个有理数），但康托尔用“一 一对应”的方法证明：你可以给所有有理数编号，就像给整数编号一样。所以它们的“数量”是相同的。

2. 但实数比有理数多得多。

康托尔用“对角线论证法”证明：实数的“无穷”比有理数的“无穷”更大。由于实数包括有理数和无理数，而有理数是可数的，这意味着无理数必然是不可数的——无理数的数量远远超过有理数。

这是人类第一次意识到：无穷可以有多个层次。

数列比任何人想象的都要拥挤和奇怪。整数、有理数、无理数、实数、复数……每一层都有自己的结构和性质。

戴德金分割的深远影响：现代数学的开端

戴德金的分割可以说是现代数学的开端。

“这确实是数学史上第一个数学家真正知道自己在说什么的时刻。”斯图尔特说。

在此之前，数学家们虽然能计算、能证明定理，但对最基础的概念——“数”——却没有清晰的定义。他们在一个模糊的基础上建造了宏伟的大厦。

戴德金给了这座大厦一个坚实的地基。

有了无理数的严格定义，数学家们首次能够证明微积分中的重要定理。

比如：

● 中间值定理：如果一个连续函数在 a 点的值是负数，在 b 点的值是正数，那么在 a 和 b 之间必定存在一个点 c ，使得函数值为 0 。

● 确界定理：任何有上界的实数集合，都有一个最小上界。

这些定理看起来“显而易见”，但在戴德金之前，没有人能严格证明它们。

戴德金的工作使数学家能够更好地理解序列、函数、极限、连续性。他的影响覆盖了数学的许多领域。

据说，艾米·诺特—— 20 世纪初帮助塑造了抽象代数领域的伟大数学家——曾告诉她的学生们："一切都已经在戴德金的著作中了。"

写在最后：从 √2 到数学的新视野

正式定义 √2 ，打开了新的探索视野，远远超越了最初激励戴德金的微积分领域。

“在戴德金之后，数学家们开始意识到可以完全创造新的概念……关于数学本质的整个概念变得更加广泛和灵活。”斯图尔特说。

从古希腊人发现 √2 不是有理数，到戴德金和康托尔严格定义无理数，中间隔了 2000 多年。

这 2000 年，不是人类的愚昧，而是人类认知的突破有多么困难。

√2 的故事告诉我们：

第一，数学不是发现，而是创造。

√2 不是“存在”于自然界的某个角落，等着被发现。它是人类为了理解正方形对角线而创造出来的概念。戴德金和康托尔没有“发现”无理数，他们“定义”了无理数。

第二，基础决定一切。

微积分在牛顿和莱布尼茨的时代就已经发展得很好了，但直到戴德金重新定义了“数”，数学家们才真正理解微积分为什么有效。

第三，有些问题需要几千年才能解决。

从公元前 6 世纪到 19 世纪中叶，人类用了 2000 多年才真正理解 √2 。不是因为古人笨，而是因为有些认知的突破，需要整个文明的积累。

下次当你在计算器上按下 √2 ，看到 1.414213562... 这一串数字时，请记得：

这个简单的数字，曾经差点毁掉整个数学大厦，也曾经让人类困惑了 2000 年。

而我们今天能够如此轻松地使用它，是因为无数代数学家前赴后继，一点点建立起了数学的坚实基础。

这就是数学的魅力：它始于一个简单的问题，但通往最深刻的真理。

好，今天就先到这里啦～

参考文献：

● Dedekind, R. (1872). Stetigkeit und irrationale Zahlen (Continuity and Irrational Numbers).

● Cantor, G. (1874). "Uber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" (On a Property of the Collection of All Real Algebraic Numbers). Journal für die Reine und Angewandte Mathematik.

● Boyer, C. B., & Merzbach, U. C. (2011). A History of Mathematics (3rd ed.). Wiley.

● Stewart, I. (2015). Galois Theory (4th ed.). CRC Press.

2025 年 12 月 10 日 科学羊 于广州