\(\huge\color{red}{我与Ai关于\lim n\in\mathbb{N}的再次商榷}\)

春风晚霞

        论证\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)的关键在于如何认识什么是无穷大，什么是趋向于无穷大。由于该问题涉及到极限的定义，以我们对什么是无穷大，什么是趋向无穷也只能从极限的定义说起。如果我们根据威尔斯特拉斯的\(\varepsilon-N\)定义，我们定义\(\infty=\{n|n>N_{\varepsilon}, N_{\varepsilon}\in\mathbb{N}\}\),并称\(t\in\{n|n>N_{\varepsilon}, N_{\varepsilon}\in\mathbb{N}\}\)为t趋向无穷大，记为\(t\to\infty\).根据这个定义\(\mathbb{N}=\)\(\{n|n\le N_{\varepsilon}, N_{\varepsilon}\in\mathbb{N}\}\)\(\cup\)\(\{n|n>\)\(N_{\varepsilon},\)\( N_{\varepsilon}\in\mathbb{N}\}\)，由于\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n>N_{\varepsilon}\)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(\in\mathbb{N}!\)
        在写这个帖子之前，我就\(\displaystyle\lim_{n\to \infty}n\in\mathbb{N}\)问题与AI进行了交流。一开始AI死缠\(\displaystyle\lim_{n\to \infty}n=\infty\)只是一种变化趋势，所以\(\displaystyle\lim_{n\to \infty}n\notin\mathbb{n}\),当我问及什么是无穷大？什么叫趋向无穷大时？AI顾左右而只言其它。甚至AI还认为对自然数列的通项公式\(a_n=n\)两端取极限所得到的等式\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\) 不成立！并且认为 脚标\(n\to\infty\)中的n,是自然数，但等式右边的\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)是变化趋势不是自然数？很明显这种解释是强词夺理。虽然AI也很喜欢扯横筋。但最终AI还是认同了\(\infty=\)\(\{n|n>N_{\varepsilon}, N_{\varepsilon}\in\mathbb{N}\}\)（部份截图附后），当然也就间接地承认了\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)!

春风晚霞

       【定理】： 若集列\(\{A_k=\{m\in\mathbb{N}:m≤k\}\)，则\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)
        【证明】：因为集列\(\{A_k=\{m\in\mathbb{N}:m≤k\}\)(已知)
易证集列\(A_k=\{1，2.…，(k-2)，(k-1)，k\}\)单调递增。所以根据单调集列极限集的定义（如北大教材《实变函数论》P9定义1.8）有：
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=\)\(\displaystyle\bigcup_{n=1} ^{\infty}A_n=\)\(\{1，2，…\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(n-2)\)，\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(n-1)\)，\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\}=\)\(\mathbb{N}\)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)！
【证毕】
        elim运用你“自洽”的定义，“严谨”的论证说明该命题及其让明错在哪里？为什么是错的？到底是现行教科书的极限集定义不自洽，还是你黄牛黑卵子，另外一条胫？数学具有高度抽象性、逻辑严谨性、应用广泛性。即使你的定义“自洽”到冠古绝今，你的\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)，除了攻击春风晚霞外还有什么用？