【研讨】怎样用泰勒级数来证明：\( e ^{\pi} \succ 21 \)

dodonaomikiki

原本本是1999年东大入学试题！

dodonaomikiki

HINT来一哈:

dodonaomikiki

运用泰勒展开：
\( e ^{  \pi  } =    1+ \pi  +  \frac{ \pi ^2}{  2}    +     \frac{ \pi ^3}{  6}               +    \frac{ \pi ^4}{  24}        +    \frac{ \pi ^5}{  120}  \\


=    1+ 3.1415926  +  \frac{ 3.1415926 ^2}{  2}    +     \frac{ 3.1415926  ^3}{  6}               +    \frac{ 3.1415926 ^4}{  24}        +    \frac{ 3.1415926 ^5}{  120}  \\


\prec  20,88



\)

dodonaomikiki

这让我感觉泰勒展开，不能运用于东京大学入学考试中！
因为：哪有辣么多时间！



展开到7项尝试看看！

dodonaomikiki

好的！
把她展开到n=7看看会怎么样


\( e ^{  \pi  } =    1+ \pi  +  \frac{ \pi ^2}{  2}    +     \frac{ \pi ^3}{  6}               +    \frac{ \pi ^4}{  24}        +    \frac{ \pi ^5}{  120}  \\


=    1+ 3.1415926  +  \frac{ 3.1415926 ^2}{  2}    +     \frac{ 3.1415926  ^3}{  6}               +    \frac{ 3.1415926 ^4}{  24}        +    \frac{ 3.1415926 ^5}{  120}           +    \frac{ 3.1415926 ^6}{  720}    +    \frac{ 3.1415926 ^7}{  5040}              \\


\approx   22,8



\)

这样显然满足！
而且满足“过度啦”感觉啊！

dodonaomikiki

由此题可得到一个结论：
有时候，很本真很有研究精神的数学方法不能应用到考试中！
因为时间有限不允许你自由发挥想象力！




所以某种程度上看，数学考试对数学的研究有时候是一种伤害！

ysr

dodonaomikiki 发表于 2025-12-22 01:18
这让我感觉泰勒展开，不能运用于东京大学入学考试中！
因为：哪有辣么多时间！

程序循环8次的结果：23.0228417289948
其中pi = "3.141592653589"

程序代码如下：
Private Function jsjc(sa As String) As String
Dim a, b
a = 1
s = 1

Do While s <= sa
a = a * s
s = s + 1
Loop
jsjc = a


End Function

Private Sub Command1_Click()
Dim pi
Dim a, b As Double
b = Val(Text1)
a = 1: s = 1:  ee = 1
pi = "3.141592653589"
Do While s <= b
a = a * Val(pi)
c = jsjc(Val(s))
ee = ee + a / c
s = s + 1
Loop

Text2 = ee

End Sub

Private Sub Command2_Click()
Text1 = ""
Text2 = ""

End Sub

ysr

程序循环7次的结果：22.7875110986363
其中pi = "3.141592653589"

ysr

程序循环5次的结果：20.852983800464
其中pi = "3.141592653589"

ysr

程序循环6次的结果：22.1882465693166
其中pi = "3.141592653589"