\(\Huge\color{red}{再論只要極限存在，就一定可達}\)

春风晚霞

        什麼是極限可達？我們稱函數和自變量同時到達極限的情形叫極限可達(參見徐利治《論無限》P22頁第1行)。为讨论极限的可达性，极限表达式可用颜色把它分成三个重要的组成部分：\(\displaystyle\lim_{\color{red}{n→∞}}\)\(\color{Magenta}{a_n=a}\)，其中lim是英语单词limit的缩写，词意为：[n].限制;(地区或地方的)境界，界限，范围;极限;限额;限度;限量;[vt.]. 限制;限定;限量;减量;
【例句】:He was driving at well over the speed limit.
他当时开车的速度远远超过了限制。
[词组]. lower limit；下限；upper limit；
上限：legal limit；法定限度.【数】；根限值。
(参阅《新英汉词典增补本》上海译文出版社P739页、《牛津高阶英汉双解词典》牛津大学出版社P1174页)。
\(\qquad \color{red}{n→∞}\) 表示变量n趋向于无穷；\(\color{Magenta}{a_n=a}\)表示在变量n趋向于无穷时所取得的极限值.
        于是我们可得极限可达的符号表达式:
\(\qquad\displaystyle\lim_{\color{red}{n→∞}}\color{Magenta}{a_n=a}\Longleftrightarrow\color{Magenta}{a_n=a}(\color{red}{n→∞})\)\(\qquad\)(*)
       现在我们证明(*)式成立：
       (1)、【证明】（充分性）
       因为\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)，所以对任意给定的、无论怎样小的正数ε，当n∈\(\{n｜n>N_ε，n∈N\}\)有\(|a_n-a|<\varepsilon\)，由\(\varepsilon\)的任意性有\(a_n=a\).即\(\color{red}{当n→∞时a_n=a}\).【充分性证毕】
     （2）、【证明】（必要性）反证法  假设\(\color{red}{当n→∞时a_n≠a}\)，即n∈\(\{n｜n>N_ε，n∈\)\(N\}\)时\(a_n≠a\)，则必有｜\(a_n-a\)｜=α>0，取\(ε=\frac{α}{2}\)，则｜\(a_n-a\)｜=α>\(\frac{α}{2}\)=ε，这与\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)矛盾(即没有\(当n→∞时a_n=a\)这个条件，一定没有\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)这个结论，亦即无之则必不然)。所以假设不成立。【必要性证畢】
        综合(1)、(2)知(*)式成立

春风晚霞

春氏可达与徐氏可达的异同

        1、春风晚霞可达与徐利治先生可达的论点一致
        徐氏在《关于极限可达到情形的讨论》开篇所说：函数与自变量同时以实无限方式到达极限的问题，是一个不可忽视的问题。徐氏的这句话亮出了他研究可实现问题的靶子。即徐氏可达是围绕着〖函数与自变量同时以实无限方式到达极限〗展开讨论的。这与春氏可达的定义:〖什么是极限可达呢？我们称函数与自变量同时以实无限的方式到达极限为极限可达〗是一致的。如对于函数\(a_n=\tfrac{1}{n}\)，因为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n}=0\)。按徐氏的观点当然可以解读成〖函数\(a_n\)与自变量n同时以实无穷方式到达函数极限0和自变量极限\(\infty\)〗，亦即\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n}=0\)\(\iff \)\( (n→∞\)时\(\tfrac{1}{n}=0)\)。因此，春氏可达与徐氏可达的论点是一致的。
        2、春风晚霞论证方法与徐利治先生论证方法殊途同归
        关于〖只要极限存在就一定可达〗，徐氏是以连续函数为基础研究的。他的“可实现”条件正是函数连续的充分必要条件。不过函数连续的充要条件比极限存在的条件强得多。徐氏把左右极限存在且等于定数，但不等于该点的函数值，即存在可去间断点的函数认为是“可连续化函数”(参见徐氏《论无限》P20页第11至第17行)。由于函数存在极限的点只有连续点和可去间断点两种情形。连续点固然满足“可实现”条件！可去间断点在经“可连续化”后，仍然满足“可实现”条件。所以，春氏与徐氏论证〖只要极限存在就一定可达〗的方法殊途同归。

春风晚霞

        elim最近发帖称【我的所有帖子都是基于现行数学的框架, 旨在科普数学基础理论而不是显摆自己, 打击私敌的.我决定将焦点主贴设为它的回复仅作者可见模式, 迫使春霞的反数学观点仅见其主题, 驴滚的效果限为置顶本人主题。】elim简直一派胡言。事实上你的一切帖子都是为了【显摆自己，打击私敌】！你【科普数学基础理论】的目的，完全是为你【无穷交就是一种骤】、【自然数集中汶有无穷数】招魂。【焦点主贴设为它的回复仅作者可见模式】是理屈词穷无言以对的怯场表现。骂人，讥讽是耍流氓的无赖行为。你的【所有帖子都是基于现行数学的框架】的屁话简直欺论坛的所有数学人不懂数学。春风晚霞驳你的论据哪一条又不是【基于现行数学的框架】，有的甚至是对现行数学定义定理的直接引用！下边仅就正确理威尔斯特拉斯极限定义，我再度以宿帖回复你的谎言。
        elim，〖\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=a\)\(\iff\)\(\forall ε>0，\exists\)正整数N，当n>N时，有\(|x_n-a|<ε\)〗.这可是威尔斯特拉斯的极限定义嘛！你他妈的还要威氏如何论证？根据威尔斯特拉斯定义，对特殊情形\(x_n=\tfrac{1}{n}\)和常数0，结论当然成立。除了你以外，还有谁会怀疑存在\(N_ε=[ε^{-1}]+1\)，当\(n>N_ε\)时，恒有\(\cfrac{1}{n}=0\)？又有谁会怀疑\(\color{red}{正整数}\)\(N_ε=[ε^{-1}]+1\)是自然数？又有谁会质疑\(N_ε+1\)，\(N_ε+2\)，……这样的自然数有无穷多个？你他妈的在【\(0.\dot 9=1\)详证】主帖中说【见数学就反, 逢数学人就死磕的春霞反不了\(0.\dot 9=1\)】简直是放你娘的臭狗屁！老子来论坛的第一个帖子就是用有理数的稠密性证明\(0.\dot 9=1\)你他妈的眼瞎心盲了？又有谁看不懂你主帖中的引理纯属扯谈！谁他妈的不知道\(0≤\cfrac{9}{10^n}<1\)你他妈的【\(0.\dot 9=1\)详证】中【引理】的引入和证明都是多余，根本就不能说明\(0.\dot 9\)只是极限是1，本身并不等于1。你他妈的成天骂这个自创系统反数学，骂那个是混混，是白痴，你又是什么东西？！我还是那么说，学数学必须死抠定义，把自己的认知落实到定义的每个单词和短语。当自己的认知和成熟的数学理论相悖时，应仔细反省自己认识上的荒谬之处，而不是首先怀疑或改写成熟的数学系统。你黄牛黑卵子，另外一条筋，倒底谁是混混，谁在反数学？！！你他妈的连威尔斯特拉斯极限定义都读不懂，还好意思在网上装大尾巴狼！！