拓扑学的起源：从柯尼斯堡七桥问题说起

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拓扑学的起源：从柯尼斯堡七桥问题说起

原创  亲切的桃子  亲切的桃子  2025 年 11 月 23 日 15:30  浙江

近来，我接触到一个特殊问题：它显然与几何学相关，但既不需要通过 “量的确定” 求解，也无法借助 “量的计算” 获得答案。因此，我毫不迟疑地将其归入“位置几何”（geometria situs）的研究范畴。—— 莱昂哈德·欧拉（1741 年）

在本节中，我们将回顾莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler 1701-1783）关于柯尼斯堡七桥问题的工作。这项成果表明，欧拉是莱布尼茨在拓扑学思想领域（以前叫「位置几何」）的直接继承者。


Leonhard Euler 1701-1783

前文阅读

●  拓扑学的起源：莱布尼茨的「位置几何」

在 18 世纪，位于普鲁士王国东部的柯尼斯堡市（Konigsberg）由普雷格尔河（River Pregel）的四条支流分隔成四个区域，由七座桥连接。著名的「柯尼斯堡七桥问题」是说，要求找到一条在该市的路径，从某一点出发，经过每座桥恰好一次后返回原点。


Konigsberg 七桥问题：一次性走完所有的桥

在欧拉所处时代，这个问题成了柯尼斯堡居民在 City Walk 中的消遣。

最早，欧拉是从他的朋友卡尔·戈特利布·埃勒（Carl Gottlieb Ehler 1685–1753）的一封信中了解到这个问题的。

欧拉一开始还不以为然，回信道：

「...我不理解您为何期待一位数学家而不是其他人来解决它，因为答案仅靠推理即可得出，不依赖任何数学原理...」

不久，欧拉就意识到，这个问题并非想象中的那么简单。

欧拉在 1736 年写给在维也纳宫廷工作的意大利天文学家乔瓦尼·马里诺尼 （Giovanni Marioni 1670-1755） 的信中写到：

「这个问题实在乏味，对我来说似乎不值得关注...我突然想知道，它是否属于位置几何学的范畴，也就是莱布尼茨曾极度渴求的那门学科。」

他于当年向圣彼得堡科学院提交了他的解决方案，并撰写了一篇论文，题为《一个与位置几何相关问题的解法》（Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis），于 1741 年发表。

在这篇论文中，欧拉对柯尼斯堡七桥问题给出了否定的答案。


欧拉"一个与位置几何相关问题的解法"（1741）

在其论文开头中，欧拉写道：

「近来，我接触到一个特殊问题：它显然与几何学相关，但既不需要通过 “量的确定” 求解，也无法借助 “量的计算” 获得答案。因此，我毫不迟疑地将其归入位置几何的研究范畴......尤其因为在解决这一问题的过程中，只需关注 “位置”，完全无需进行（几何）计算」。

欧拉描述：解决七桥问题方法的核心在于：不关注桥梁的具体位置，仅通过 “区域-桥梁” 的连接关系与数量规律推导。这个思想完美契合莱布尼茨提出的 “位置几何” 理念，即无需计算 “量”，仅通过位置关系即可解决问题。

欧拉用大写字母 A, B, C, D 分别表示四块陆地区域，小写字母 a, b, c, d, e, f, g 分别表示这 7 座桥。用 “AB” 表示某位行人从陆地区域 A 经过桥 a 或 b 进入陆地区域 B，若行人随后从区域 B 经桥梁 f 前往区域 D ，这一通行过程可表示为 “BD”；而将 “AB” 与 “BD” 这两个连续的通行过程合并，只需用三个字母 “ABD” 表示即可。

欧拉将问题一般化：「我将问题推广为一个更具普遍性的命题：无论河流的形态、分支分布如何，也无论桥梁的数量多少，如何判断是否存在一条路线，能够恰好经过每座桥梁一次（且仅一次）？」


欧拉的方法对陆地和桥的编号简化

若存在一条 “经过七座桥梁且每座桥仅一次” 的路线，它必然可用八个字母表示，且字母的排列需满足以下条件（依据桥梁连接关系）：

●  字母 A 与 B 的连续组合（AB 或 BA）需出现两次 —— 因为 A 与 B 之间有 a、b 两座桥梁；

●  字母 A 与 C 的连续组合（AC 或 CA）需出现两次 —— 因为 A 与 C 之间有两座桥梁；

●  字母 A 与 D 的连续组合（AD 或 DA）需出现一次 —— 因为 A 与 D 之间有一座桥梁；

●  字母 B 与 D 的连续组合（BD 或 DB）需出现一次 —— 因为 B 与 D 之间有一座桥梁；

●  字母 C 与 D 的连续组合（CD 或 DC）需出现一次 —— 因为 C 与 D 之间有一座桥梁。

此时，问题已转化为：能否用 A、B、C、D 四个字母，构造一个由八个字母组成的序列，使得上述各类字母组合的出现次数恰好符合要求？

欧拉对此分析如下：

「我首先分析 “连接某一区域的桥梁数量” 与 “该区域字母在序列中出现次数” 的关系：

●  若仅有 1 座桥梁连接区域 A ：行人要么从 A 出发（序列以 A 开头），要么到达 A（序列以 A 结尾），因此字母 A 在序列中仅出现 1 次；

●  若有 3 座桥梁连接区域 A ：行人若要经过所有 3 座桥，字母 A 在序列中需出现 2 次（无论路线是否从 A 出发）；

●  若有 5 座桥梁连接区域 A ：字母 A 需出现 3 次。

由此可总结规律：若连接某区域的桥梁数量为奇数，则该区域对应的字母在序列中出现的次数为 （桥梁数 + 1）÷ 2 。」

回到柯尼斯堡七桥问题：

●  连接区域 A 的桥梁有 5 座（a、b、c、d、e），因此字母 A 需出现 3 次；

●  连接区域 B 的桥梁有 3 座，因此字母 B 需出现 2 次；

●  连接区域 C 的桥梁有 3 座，因此字母 C 需出现 2 次；

●  连接区域 D 的桥梁有 3 座，因此字母 D 需出现 2 次。

然而，我们需要构造的是一个由  8 个字母组成的序列 —— 但上述字母出现次数之和为 3+2+2+2=9，与 “8 个字母” 的要求矛盾。

由此可明确：不存在一条能经过柯尼斯堡所有七座桥梁且每座桥仅一次的路线。

由这个问题出发，欧拉提出了如下定理：如果有奇数座桥的陆地区域大于两个，则满足要求的路线是不存在的。

当年欧拉的论文中，可能出于当时的人们只关心七桥问题是否有解而已，也可能希望后世学者加以进一步研究。因此只证明了必要性，尚未证明「当且仅当」部分。

直到 130 多年后，德国数学家卡尔·希尔霍尔泽（Carl Hierholzer 1840-1871）在 1871 年论文“Ueber die Moglichkeit, einen Linienzug ohne Wiederholung und ohne Unterbrechung zu umfahren”（论不重复且不间断遍历折线的可能性）中证明。


Carl Hierholzer 的论文（1873）

但希尔霍尔泽于 1871 年英年早逝，直至两年后才由同事整理成论文发表在德国数学年刊 Mathematische Annalen ，此亦一憾中的一幸。

我们用现代图论的语言重新描述以上的内容：首先介绍几个定义。

一个顶点的度（degree）是它发散出的边的条数。如果该顶点处存在一个自环（loop），即一条起点和终点相同的边，那么这个自环对度的贡献就是 2 。

在哥尼斯堡七桥问题的示意图中，有三个度为 3 的顶点，一个度为 5 的顶点。

此外，如果从一张图中的任何一个顶点沿一系列边到达另一个任选的顶点，那么这个图是连通的（connected）。


柯尼斯堡问题对应的图

在一张图中，从一个顶点描画到另一个顶点所得的部分叫作路径（path）。

柯尼斯堡问题之所以让我们感兴趣，是问这样一张图，是否存在这样一条路径，它恰好经过图中的每条边一次。

后世，图论学中称之为欧拉路径（Eulerian path）。如果一条欧拉路径的起点和终点相同，那么它就叫作欧拉回路（Eulerian circuit）。

将问题一般化处理，如何判定一张图中是否有欧拉路径？

一张图中有欧拉路径的充要条件是：它是连通的，且只包含零个或两个度为奇数的顶点。

而柯尼斯堡七桥问题对应的图中存在四个度为奇数的顶点，所有它没有欧拉路径！

延伸阅读

关于拓扑学的诞生和欧拉发现多面体公式的数学之旅更多故事和科学知识，可见由人民邮电出版的大卫 · S. 里奇森所著的 《欧拉的宝石：从多面体公式到拓扑学的诞生》 。


David S. Richeson - 《欧拉的宝石：从多面体公式到拓扑学的诞生》（Euler's Gem：The Polyhedron Formula and the Birth of Topology）

参考资料

[1] L. 欧拉, Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis（一个与位置几何相关问题的解法）, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 8, 1741, 128–140

[2] 姜伯驹，一笔画和邮递路线问题（青年数学小丛书）.中国青年出版社（书号 13009·207），1962 年

[3] 中科大徐俊明教授的图论故事系列《L. Euler 与 Euler 定理》，见 http://staff.ustc.edu.cn/~xujm/Story-Graph_02.pdf

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