刘徽的割圆术，如何与千年后的西方数学史对话？

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刘徽的割圆术，如何与千年后的西方数学史对话？

牛顿曾经自称“站在巨人的肩上”，巨人是脱颖而出的人，他们走出了一条路，我们其他人跟随其后。

选择一部分巨人，了解他们的人生和成就，我们可以看到数学的新领域是由谁开辟出来的，怎样开辟出来的，这些人是怎样生活的。

数学“故事大王”斯图尔特选取了 25 位数学巨人，讲述了他们的非凡生活和惊人发现，其中一位是生活在魏晋时期的中国古代数学家刘徽，西方现代数学家笔下的他是什么样的？



来源 | 《数学巨人传 : 思考、创造的奇趣故事》

作者 | [英] 伊恩·斯图尔特（Ian Stewart）

译者 | 张憬



01  刘徽：得道之人

《周髀算经》是中国已知最古老的数学经典，可以追溯到公元前 400 — 前 200 年，大致为战国时期。这部著作中有一小段带有教育意义的劝导之言：

昔者荣方问于陈子，曰：“今者窃闻夫子之道，知日之高大，光之所照，一日所行，远近之数，人所望见，四极之穷，列星之宿，田地之广袤，夫子之道，皆能知之。其信有之乎？”

陈子曰：“然。”

荣方曰：“方虽不省，愿夫子幸而说之。今若方者，可教此道邪？”

陈子曰：“然。此皆算术之所及，子之于算，足以知此矣，若诚累思之。

（此段引文大意如下：

荣方曾向陈子请教，说：“我听说您的道，可以知晓太阳的高低和大小、日光照射的范围、太阳一天能走多远、太阳同我们最远和最近的距离、人眼能望见的最大范围、四方的极限、‘星宿’在天上的分布、天地的长宽，这些您的道都能知晓，这是真的吗？”

陈子说：“是真的。”

荣方说：“我虽然不聪明，但仍然希望听到您的解说。像我这样的资质可以接受教导，学会您的道吗？”

陈子说：“可以的。这些都能通过数学推算来知晓。如果你能反复思考、分析推理，你的算术能力足够理解此道了。”——译者注）

接下来，书中利用几何学推导出了地球到太阳的距离。这里的宇宙模型很原始：上有圆形的天空，下有平坦的地面（天圆地方）。但书中的数学相当复杂。从本质上讲，这里用的是相似三角形的几何原理，计算涉及太阳照射下的阴影。

从公元前 323 年亚历山大大帝去世到公元前 146 年罗马共和国将希腊纳入版图，当西方处在希腊化时代，《周髀算经》展现了中国数学研究的先进水平。这段时期，古希腊在知识界的主导地位达到顶峰，古典世界多数伟大的几何学家、哲学家、逻辑学家和天文学家都活跃在这个时代。即使处在罗马的支配下，希腊的文化和科学仍在不断进步，直到公元 600 年前后，但数学创新的中心转移到了中国、古阿拉伯和古印度。尽管“黑暗时代”并不总是像人们描绘的那样黑暗，欧洲也取得了一些较小的进步，但数学发展的前沿直到文艺复兴时期才回到欧洲。

中国的进步令人惊叹。直到近期，数学史的视角大多以欧洲为中心，忽略了其他地区，直到乔治·盖韦尔盖塞·约瑟夫（George Gheverghese Joseph）写出《孔雀之冠》（The Crest of the Peacock），其中介绍了远东的早期数学。

刘徽是中国古代最伟大的数学家之一。他是汉淄乡侯的后代，生活在三国时期的曹魏。公元 263 年（曹魏景元四年），他编辑出版了《九章算术注》，对中国数学名著《九章算术》中的数学问题做出了解答。

刘徽的研究包括勾股定理的证明、立体几何定理、对求π近似值的阿基米德方法的改进，以及包含多个未知数的一次方程组的系统解法。他还撰写了测量方面的著作，尤其关注天文学方面的应用。他可能去过中国四大古都之一洛阳，并且测量过日影。

02  割圆术

中国的早期历史有后来的一些文献记录作为依据，比如汉代学者司马迁的巨著《史记》（约公元前 110 年），还有写在竹简上的编年史《竹书纪年》，后者于公元前 296 年（魏襄王二十三年）被埋入魏襄王墓，约公元 279 年（西晋咸宁五年）出土。根据这些资料，华夏文明始于夏王朝。文字记录始于商代（公元前 1600 — 前 1046 年），留下了雕刻在龟甲、兽骨上，用于占卜的甲骨文，其中包含中国最早的数字符号。后来周朝成功推翻商朝，逐步建立了更加稳定的封建制国家，但在约三个世纪后，随着其他势力的崛起，中国开始分崩离析。

到了公元前 476 年，周天子对国家失去了实际控制，这段时期持续了两个多世纪，被称为“战国”。《周髀算经》就是在这个动荡的时代写成的。其中主要的数学内容包括我们现在所说的勾股定理、分数和算术，除此之外还包括大量天文学知识。在书中，勾股定理是借周公和商高的对话提出的，他们对直角三角形的讨论引出了相关陈述和几何证明。

有一段时间，历史学家认为中国人比毕达哥拉斯（Pythagoras）早五百年发现这个著名定理。今天的普遍看法是，同一个定理在东方和西方被独立发现，中国时间略早。

大约在同一时期，数学经典有了重要的后继者，也就是前面提到过的《九章算术》。这本著作内容十分丰富，包括开方、解联立方程、面积与体积，以及直角三角形。

根据刘徽的《九章算术注》，公元 130 年（汉永建五年）前后，张衡给出了 π 的近似值根号 10  。公元 3 世纪前后（约三国时期），赵爽通过评注为《周髀算经》增加了二次方程的解法。对《九章算术》影响最为深远的发展，出现在公元 263 年，完成这项工作的是中国古代最伟大的数学家之一——刘徽。

他在介绍《九章算术》时解释道：

往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目则与古或异，而所论者多近语也。

（此段引文大意如下：过去，暴秦焚书，导致经术散坏。后来，汉代的北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌都因擅长算学而闻名于世。张苍等人根据[本书]旧时遗留的残缺内容进行了删减补充，所以目录和早先的版本有出入，论述也多采用如今的语言。——译者注）

特别要提到的是，刘徽为书中方法的可行性提供了证明，尽管在现代人看来，他的技术并不严谨，类似阿基米德在《方法》中的做法。刘徽还提供了关于测量的附加内容，并且以《海岛算经》为名单独出版。

《九章算术》的第一篇解释了怎样计算矩形、三角形、梯形、圆形等多种图形的面积。书中的法则大多是正确的，但关于圆面积的除外。即便如此，其中的方法也没有问题：求圆面积要用半径乘周长的一半。问题在于，圆的周长被当作直径的 3 倍来计算了，π 实际上取了 3 。在使用中，这会让人们少算不到 5% 的面积。

公元前 1 世纪晚期，统治者王莽命令主导历法整理的天文学家刘歆制定体积的度量标准。刘歆设计了一个非常精确的圆柱体青铜器（新莽嘉量），作为标准参考。数以千计的复制品流传至中国各地，而最早的那一件现在被保存在北京的一家博物馆中。从尺寸判断，有些人认为刘歆实际使用的 π 值在 3.1547 左右。（但是，测量青铜器怎么就能获得这样精确的数呢？不知道，至少我不清楚。）《隋书》中有一句话，相当于宣布刘歆求出了 π 的新值。根据刘徽的评论，大约在同一时期，宫廷占星师（太史令）张衡建议将 π 取为 10 的平方根，也就是约 3.1623 。显然，π 还需要更加精确的值。

刘徽在《九章算术》的评注中指出，前人所使用的 π 值（π=3）是错误的，用这个值计算圆的周长，实际算出的是内接正六边形的周长，而后者明显要小一些。然后，他计算出了更精确的圆周长（同时间接给出了相应的 π 值）。

事实上，他还更进一步，描述了一种能够以任意精度估算 π 值的方法（割圆术）。这个方法和阿基米德的方法相似：用正多边形（正六边形、正十二边形、正二十四边形、正四十八边形、正九十六边形……）来近似圆。从穷竭法的思路出发，阿基米德用一系列内接多边形和一系列外切多边形来近似圆。刘徽只用了内接多边形，但在计算结束时，他给出了几何论证，为 π 的实际值设定了下界和上界。这套方法可以近似出任意精度的 π ，涉及的概念不会难过平方根。估算可以系统地完成，虽然很费工夫，但并不比长乘法更复杂。一个娴熟的算术家可以在一天之内求出 π 的小数点后 10 位。

后来，公元 5 世纪（南北朝时期），祖冲之进一步计算出：

3.141 592 6< π <3.141 592 7

这个结果被记录了下来，方法却不知所终，也许是与祖冲之所著（一说与其子祖暅合著）的《缀术》一同失传了。按照刘徽的思路也可以算出这样的值，但从书名推测，祖冲之的方法可能涉及用一对近似值（一个略小，另一个略大）估算更精确的值。类似的数学方法直到今天依然能看到。不久前，这还是学校会教授的方法，要配合对数表使用。祖冲之提出了两个用于近似 π 的简单分数：一个是阿基米德也提到过的 22/7 ，精确到小数点后两位；另一个是 355/113 ，精确到小数点后六位。前者现在被广泛使用，后者则为数学家们所熟知。

03  中国古代数学的影响

从刘徽书中的说明来看，他曾以巧妙而独特的方式完成勾股定理的证明。如下图所示，黑色的是直角三角形。以短直角边为边长画出浅灰色的正方形，并且用对角线一分为二；以另一条直角边为边长画出的正方形则被分成五块，包括一个深灰色的小正方形，一对形状大小和原三角形相同且对称排列的中灰色三角形，还有一对对称排列的白色三角形填满剩余的空间。将前面提到的7个图形全部拼接起来，可以组成以斜边为边长的正方形。



还有其他更简单的分解方法可以用来证明这个定理。

中国古代数学家的能力绝不亚于同时代的古希腊数学家。刘徽之后，数学在中国继续发展，有许多发现早于欧洲。举个例子，刘徽和祖冲之估算的 π 值精度在一千年内都没有被超越。

约瑟夫探讨过他们的一部分思想随贸易往来传到古印度、古阿拉伯甚至欧洲的可能性。如果这样的传播过程真实存在，那么欧洲后来的一些数学发现可能多少借了中国学者的光。

公元 6 世纪（唐代）时，中国就往古印度派出过外交使节。7 世纪时，中国人翻译引进了古印度的数学和天文著作，此时阿拉伯地区就已开始流传“学问虽远在中国，亦当求之”的话。14 世纪（明代），在外行走的阿拉伯人记载了与中国正式建立贸易联系的历史，云游的摩洛哥学者穆罕默德·伊本·白图泰（Muhammad ibn Battuta）则在《伊本·白图泰游记》（The Rihla）一书中介绍了中国的科学技术和文化。

我们知道，古印度和古阿拉伯的思想曾经传入中世纪欧洲，接下来的两章就会聊到这个话题。而来自中国的知识也完全有可能以相似的过程进入西方。

17、18 世纪（明清）在中国活动的耶稣会会士带回了孔子的学说，启发了莱布尼茨（Leibniz）的一部分哲学思想。

古希腊、中东、古印度和中国之间很可能存在着复杂的联系网，数学、科学和更多的知识由此传播开来。如果真是这样，西方从前所认定的数学史也许需要些许修正了。

蔡爸谈数学  2026 年 1 月 8 日 12:13  浙江