辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用

朱明君

辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用

作者：朱火华
日期：2025年11月25日

1 引言

二维平面图着色问题是图论领域的经典难题，四色定理已明确任意平面图均可使用四种颜色完成着色。本文提出辐边总和公式，通过将任意二维平面图（原图）转化为结构与功能等价的单中心轮图（新图），构建规范化、简便化的平面图着色方法。其中，辐边总和数对应新单中心轮图的辐边数，同时等于该轮图环上节点数与环边数的总和，为平面图着色提供了系统化的理论支撑与操作路径。

2 辐边总和公式与图结构转换

2.1 辐边总和公式（三维代数构造范式）

辐边总和公式适用于两类二维平面图：一是具有外向内两层及以上环带加中心区域的标准结构平面图，二是中心区域节点数≥0的任意结构平面图。公式计算遵循轮构型独立计算、叠加求和的原则，其核心逻辑在于：除外围节点外，平面图围内每个节点均可作为轮构型中心，节点与边可在轮构型间共享，即所有二维平面图本质上由轮构型模块叠加构成。该公式的核心目标是将任意平面图转化为单中心轮图，而单中心轮图仅需4色即可完成着色，且与原图保持结构和功能的等价性。

作为独立于传统图论欧拉公式的纯代数体系，辐边总和公式的基础形式定义为：
w = 6(n - m - 1) + (m - d)
式中，n 为平面图节点总数（n \ge 4），m 为外围节点数（m \ge 2），d 为第二层环节点数（d \ge 2），w 为辐边数（w \ge 6）。系数6源于公式的最小解情形：当 n=4、m=d=2 时，w=6，该最小解由两个 1+3 轮构型模块经部分点边叠加形成；公式中的“减1”用于扣除围内的一个基准值，且平面图所有顶点的度数均≥1。

针对 m=d 的特殊情形，若 m+d 为≥4的偶数，公式可简化为 w = 6(n - m - 1) = 6(n - (m + 1))；当 m=d=3 时，进一步简化为 w = 6(n - 4)。

对于单层或多层外环加中心区的平面图结构，公式可进一步简化为：
w = n + 3d - 4
以树型结构为参照模型，其理论边数满足 e = d - 1（d 为围内所有节点数，a 为实际连接边数）。

2.2 普适公式与虚拟环构建

为覆盖标准与非标准二维平面图的全类型计算需求，可通过添加双层虚拟环的方法实现公式普适化。双层虚拟环的总节点数为6，每层包含3个节点，其作用在于包裹原图，有效处理孔洞、亏格曲面、多面体等屏蔽结构。添加虚拟环后的新图为实际存在的平面图，原图作为子结构完全包含于新图之中；去除双层虚拟环后，原图可直接继承新图的着色结果，且色数≤4。

基于双层虚拟环的构造方法，辐边总和公式的普适形式为：
w = 6(n_{\text{新}} - 4)
式中，n_{\text{原}} 为原始二维平面图的节点个数（n_{\text{原}} \ge 0），n_{\text{新}} = n_{\text{原}} + 6 为添加虚拟环后新图的节点总数。

2.3 重构公式（等价生成）

由辐边总和数 w 可直接确定等价单中心标准轮图的规模，其重构公式为：
\odot = 1 + w
式中，“1”代表原图所有围内节点（即所有轮构型模块的中心节点）经几何叠加生成的唯一中心等效体，w 为该单中心轮图环上的节点数，同时对应轮图的辐边数。

2.4 原图与新图的结构转换

2.4.1 原图分解至新图的转换步骤

原图到新图的转换以轮构型分解与重组为核心，具体操作步骤如下：首先，将原图分解为若干变形轮构型，若原图围内有 N 个节点，则可分解得到 N 个变形轮构型，并记录各轮构型的几何形状；其次，通过边与辐边的“皮筋伸缩”操作，将所有变形轮构型还原为标准轮构型；再次，选取每个标准轮构型环上一节点的单侧与边的连接处断开，经边与辐边的伸缩处理形成扇形结构，该扇形结构可类比为“扇柄为中心节点、扇骨为辐边、扇纸为环边”，且扇形两端分别为凹卯眼状的节点端与凸榫头状的边端；最后，将所有扇形结构进行拼接，使相邻扇形的节点端与边端对应连接，所有扇形的扇柄以点片形式叠加，最终形成单中心轮图。

2.4.2 新图还原至原图的转换步骤

新图到原图的逆向转换步骤为：首先，从新单中心轮图的环上标记节点处拆解，得到 n 个扇形结构；其次，将每个扇形结构的两端重新连接，还原为标准轮构型；最后，依照原图的初始变形状态，对所有标准轮构型进行部分或全部点边的叠加操作，恢复原图的完整结构，确保新图与原图的结构等价性。

3 新单中心轮图的最优着色规则

新单中心轮图的着色方案由其环上节点数 n 的奇偶性决定，具体规则如下：当环上节点数为奇数，即 n=2m+1 时，环上节点采用2种颜色交替着色 m 次，剩余1个节点使用第3种颜色，中心节点使用第4种颜色，总着色数为4；当环上节点数为偶数，即 n=2m 时，环上节点可通过2种颜色交替着色完成，中心节点仅需1种新颜色，总着色数为3。

需强调核心约束条件：若原图中存在任意一个奇轮构型模块，即便新单中心轮图为偶环结构，也必须采用4色方案完成着色，这是保证新图着色结果能够无冲突映射回原图的关键前提。同时需要明确，本文所指的新单中心轮图由轮构型扇化模块组装而成，与传统图论中的单中心轮图属于不同概念范畴。

4 原图与新图的功能等价性

4.1 原图到新图的功能保持机制

在原图分解为 n 个轮构型的过程中，若各轮构型中心节点的颜色存在差异，选取占比最高的颜色作为新单中心轮图的中心颜色；对于其余轮构型，通过其环上对应节点颜色与中心节点颜色的互换操作，实现所有轮构型中心节点颜色的统一，以此确保新图与原图的功能等价性。

4.2 新图到原图的颜色一致性映射机制

在新图拆解为 n 个轮构型的逆向过程中，若新图中心节点颜色与原图对应中心节点颜色存在冲突，通过新图中心节点颜色与环上节点颜色的互换调整，使新图中心节点颜色与原图保持一致，维持二者的功能等价关系。

4.3 无冲突场景下的颜色直接替换机制

在原图与新图的双向转换过程中，若新分配的颜色与其他节点颜色无冲突，可跳过复杂的颜色互换步骤，直接进行中心节点的颜色替换，有效简化着色操作流程。

5 结论

本文提出的辐边总和公式，通过双层虚拟环包裹与轮构型转换的核心方法，实现了任意二维平面图到单中心轮图的等价转化。利用单中心轮图的着色特性，可在4色以内完成所有平面图的着色，且原图与新图之间的双向转换过程能够保持结构与功能的完全等价性。该研究为二维平面图着色问题提供了可操作的理论框架与系统化方法，也为四色定理的构造性证明提供了全新的思路与路径。

关键词：二维平面图；辐边总和公式；轮构型；图着色；四色定理

 

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