伟大的数学家阿贝尔

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伟大的数学家阿贝尔

原创  张戎  数学人生  2026 年 1 月 7 日 07:02  广东

尼尔斯·亨里克·阿贝尔于 1802 年 8 月 5 日出生在挪威芬岛。他的父亲，瑟伦·格奥尔格·阿贝尔，是那里的一名牧师。瑟伦·阿贝尔曾在丹麦学习，深受启蒙运动和法国大革命思想的影响。他坚信理性能够解开生命的奥秘，并致力于将这种信念传播给他的教区居民。他组织了一个读书小组，借阅关于如何提高农作物产量和畜牧技术的书籍，以及如何让菜园和果园更高产的读物。在教区居民眼中，他是一位备受尊敬的杰出人物。



阿贝尔的童年和早期教育在芬岛度过。1821 年，他进入克里斯蒂安尼亚大学学习。他的入学成绩平平，但数学除外——他毫无疑问地获得了最高分。事实上，即使在入学前，阿贝尔的数学知识可能已经超过了国内任何人。他的老师 B. M. 霍尔姆伯已经教会了他所有能教的东西，而阿贝尔更进一步，通过自学和从藏书相当丰富的大学图书馆借阅数学文献来继续学习。他借阅的书籍包括牛顿、欧拉、拉克鲁瓦、拉格朗日、蒙日、勒让德、拉普拉斯和高斯的著作，以及来自巴黎的当代出版物和期刊。



早在成为大学生之前，阿贝尔就开始了他第一项伟大的数学成就：研究五次方程。起初，他以为自己找到了五次一般代数方程的解法，这个难题欧洲数学家已经追寻了 250 多年，自 1545 年吉罗拉莫·卡尔达诺在其开创性著作《大术》中提出三次和四次方程的解法以来。克里斯蒂安尼亚的两位数学教授，瑟伦·拉斯穆森和克里斯托弗·汉斯汀，没有在阿贝尔的公式中发现错误，并将这项工作寄给了当时挪威领先的数学家。



1823 年春天，阿贝尔在挪威第一本科学期刊《自然科学杂志》上发表了文章，完成了他的数学首秀。同年，他还在该期刊上发表了几篇其他较小的作品。在那年春天，阿贝尔用法语写了一篇更长、可能更实质和重要的数学著作，内容是关于“积分所有可能的微分方程的一般可能性的一个普遍证明”，并寻求大学资助以出版此文。拉斯穆森和汉斯汀教授持积极态度，但学术委员会很谨慎，在各部门之间流转的大量文件中，这部作品永远地丢失了，无迹可寻。



支持阿贝尔的拉斯穆森和汉斯汀教授等人知道他需要出国学习更多数学知识，阿贝尔自己也非常希望出国，以便接触欧洲的数学圈。当时进行数学研究的地方是巴黎——在巴黎综合理工学院、巴黎高等师范学院和巴黎大学索邦学院——以及哥廷根，围绕在伟大的 C. F. 高斯周围，高斯几乎被视为一个独立的机构。但公共资助的缺乏迫使阿贝尔在克里斯蒂安尼亚大学又待了四年，学习——用部委文件中的话说——“他主要领域数学的博雅语言和其他有用的辅助科学”。



1823 年夏天，拉斯穆森教授从自己的口袋里拿出 100 speciedaler 给阿贝尔，让他至少能去哥本哈根拜访那里的数学家。阿贝尔旅行后发现，他在数学上的知识确实不亚于哥本哈根的任何一个人，而且挪威首都新大学的图书馆藏书与哥本哈根的任何图书馆一样丰富。阿贝尔去看戏，并参与了学生生活。他阅读数学著作，稍微研究了一下费马大定理，并形成了一些不等式，表明如果存在解，那解必定非常巨大，同时他开始研究椭圆函数（这项成果直到 1827 年夏天才发表）。阿贝尔的姨妈，他母亲的姐妹，嫁给了一位丹麦海军军官彼得·曼德鲁普·图克森，阿贝尔住在他们在哥本哈根克里斯蒂安港海军基地的家中。



从 1824 年初开始，阿贝尔获得了为期两年的 200 speciedaler 国家津贴。1824 年春天，他自费印刷了关于五次方程的研究成果。他用法语写成，并将证明压缩到六小页（为了使印刷尽可能经济），这导致它几乎难以理解——因此，它未能像阿贝尔预期的那样，成为他进入欧洲学术圈的“入场券”。



阿贝尔在柏林度过的时光必须被视为他一生中的巨大幸运，因为在那里他遇到了一位对数学感兴趣的工程师，奥古斯特·利奥波德·克雷尔，他修建道路和德国最早的铁路之一（从柏林到波茨坦的线路）。现在，遇到阿贝尔后，在普鲁士首都地位很高的克雷尔，有勇气去实现他长久以来的一个愿望——即在柏林出版一本数学期刊，挑战法国已有的成熟期刊。早在 1826 年 2 月，《纯粹与应用数学杂志》的第一期就出版了，阿贝尔的大部分作品都将发表在这里，并且多亏了阿贝尔的工作，克雷尔的期刊迅速成为欧洲领先的期刊之一。



阿贝尔在柏林待了四个月，他与克雷尔以及他圈子里的其他数学家度过了鼓舞人心的时光；其中一位是瑞士人雅各布·施泰纳。阿贝尔受邀参加“沙龙”和私人聚会；他去看戏；最重要的是，他工作。他在克雷尔期刊上发表的第一篇文章是证明五次一般方程无法用根式求解的扩展版本。他以极大的热情和精湛技巧证明了，任何可能的解都必须包含根式表达式所不具备的性质。但是许多次数大于五的特殊方程确实有解，在他对方程理论的进一步研究中，阿贝尔在寻找此类解的条件方面取得了很大进展。



柏林的数学讨论当然涉及许多主题，但一个持续的主题似乎是对数学证明逻辑严密性的新要求。参与数学讨论似乎提高了阿贝尔的批判能力；他变得更大胆、更自信。他所完成的一些工作似乎是他在出国前就在脑海中酝酿的想法和问题的结果；同时他也产生了新的想法。他在给霍尔姆伯的信中写到无穷级数：“总的来说，发散级数是魔鬼的作品，人们竟敢基于它们进行任何证明，这真是可耻。使用它们时，你可以得到任何你想要的结果，它们已经引发了如此多的灾难和悖论。还有什么比下面这个式子更可怕的呢：0 = 1 - 2^n + 3^n - 4^n + 等等，其中 n 是一个整数？”



阿贝尔从能够直接在克雷尔期刊上发表作品的可能性中获得了巨大的灵感——他用法语写作，克雷尔进行翻译；后来克雷尔直接用法语印刷阿贝尔的论文。他在家信中表达了这一点：“恰恰在此时，我脑海中有如此多的想法。纯粹数学，在其最纯粹的意义上，无疑应该成为我未来的研究方向。我将竭尽全力，去照亮如今分析学中无疑存在的巨大黑暗。它几乎完全缺乏计划和系统，以至于人们竟然能够在这种状态下取得如此多的成就，这真是令人惊讶。”



克雷尔期刊的第一卷包含了阿贝尔的七篇作品——两篇短评和五篇论文。在这本期刊中，他能够以更广泛的方式展示他关于大于四次的代数方程无法用根式求解的研究。并且他展示了，除其他结果外，当 m 不是整数时，二项式级数 (1+x)^m 收敛性的证明。阿贝尔精确地展示了数学证明中常常缺乏的精确性和严密性，从而成为现代严密证明表述的先驱之一（与高斯和柯西并列，阿贝尔似乎在柏林读过他们的著作）。



阿贝尔继续前往因斯布鲁克，他非常想看看瑞士的一点风光——“那么我为什么不应该看看它呢？天哪！我并非完全缺乏对自然之美的感知。”他写信给那些资助他钱的人。阿贝尔徒步登上了瑞吉山山顶，然后前往巴塞尔。从那里，他直接前往巴黎，于 1826 年 7 月独自抵达，此时距离他离开挪威已有十个月。阿贝尔向家里报告：“我终于到达了我所有数学愿望的焦点，”关于他的长途绕行，他再次解释道：“我想看看外面世界的愿望是如此强烈，而且，难道旅行只是为了严格地研究科学吗？”



在找到住处（就在圣日耳曼德佩附近）后，阿贝尔立即开始撰写后来被称为他的“巴黎论文”的著作。直到今天，几乎没有任何其他数学论文能像阿贝尔的巴黎论文——关于代数积分的加法定理——那样赢得如此多的赞誉。令人印象深刻的是阿贝尔提出问题时所展现的巨大普遍性。他证明了前人未曾梦想过的数学关联，并开辟了至今仍能发现新方面的研究领域。阿贝尔的巴黎论文一直是数学发展史上的一个里程碑。阿贝尔的视野比他的前辈们更广阔，从他的工作中涌现出大量的比较和结果。但这种大胆从何而来，是否在他个人生活的任何方面有所反映？



阿贝尔完成了巴黎论文，并于十月底提交，署名“挪威人 N. H. 阿贝尔”。他在巴黎待到年底，在等待答复期间，他准备了几篇其他作品。他发现了如何用直尺和圆规将双纽线分成相等的部分，并开始了一项关于方程理论的更大工作，一年半后完成，并在去世前几天发表在克雷尔的期刊上。



阿贝尔经常出入科学家（无论老少）聚会的圈子和“晚会”，阿贝尔描述其中一些人物的方式或许能让我们瞥见他自己的自我意识。他描述 A-M. 勒让德，一位伟大的数学家，也是阿贝尔的灵感来源之一，是“一个极其亲切的人，但不幸的是老得像块石头”——勒让德当时 74 岁。关于这个圈子的核心人物 S. D. 泊松，阿贝尔说他有个“漂亮的小肚子”，“有点自以为是”，并且“举止庄重”—— J-B-J. 傅里叶显然也是如此。傅里叶是科学院的秘书，也是拿破仑打算开化那片古老土地时，随他远征埃及的三位科学家之一。



阿贝尔在巴黎遇到的其他科学家包括 A. 布瓦尔（天文台台长，阿贝尔有来自维也纳冯·利特罗的介绍信给他，正是布瓦尔将阿贝尔介绍给研究院的成员）、费鲁萨克男爵（期刊出版商，他向年轻科学家开放了他藏书丰富的图书馆）、J-N-P. 阿歇特（蒙日的助手，科学院通讯的编辑）、J. F. 萨盖（费鲁萨克《通报》的编辑，他请阿贝尔为《通报》写一些评注）、J. 刘维尔（1826 年时只有十七岁，多年后他说他人生中的一个错误就是遇到了阿贝尔却没有结识他）、G. P. L. 狄利克雷（普鲁士人，将阿贝尔视为同胞，阿贝尔在家信中报告说：“他[狄利克雷]是一位非常敏锐的数学家。他与勒让德一起，证明了方程 x^5 + y^5 = z^5 在整数中不可解，以及其他一些巧妙的东西。”），以及 F-V. 拉斯帕伊（后来作为法国国民议会的著名代表，他以阿贝尔及其命运为例，说明科学院如何偏爱老科学家，而将年轻人拒之门外）。



此时，阿贝尔只剩下一年半的生命，这段时间充满了令人印象深刻的一系列论文，他源源不断地寄给柏林的克雷尔，而克雷尔方面，出版的速度赶不上论文寄来的速度。阿贝尔同时研究代数方程、椭圆函数和无穷级数，并在所有这些领域做出了开创性贡献，其中大部分作品都寄往了柏林。在一场与德国数学家 C. G. J. 雅可比关于优先权的激烈竞争中，阿贝尔于 7 月在阿尔托纳的《天文通讯》上发表了一篇关于椭圆函数的重要论文（该期刊由高斯的朋友 H. C. 舒马赫出版，阿贝尔在国外旅行期间拜访过他）。



那年秋天，阿贝尔生病卧床数周，并承认方程理论研究现在消耗了他的体力。圣诞节临近时，他非常想回到他的未婚妻和弗罗兰铁厂的朋友身边。穿越冬季条件的旅程漫长而疲惫。阿贝尔乘雪橇抵达，寒冷且咳嗽，但为团聚而高兴。然而，在一次圣诞舞会后，当他想到外面凉快一下时，他开始咳血。现在他在弗罗兰卧床十二周，住在铁厂主人的住所里，那是当时最庄严的住宅之一，并接受该地区最好医生的照料。有一段时间，他感觉好些了，并且完成了一篇数学论文：两三页纸，他再次尝试阐述那篇广泛的巴黎论文的初步想法。



两天后，即 4 月 8 日，在完全不知道弗罗兰发生了什么的情况下，巴黎和柏林都有关于阿贝尔的信件往来。从巴黎传来消息，巴黎论文终于被重新找到，赞誉之词开始涌来——次年，科学院的 1500 法郎奖金授予了阿贝尔的工作，这笔钱最终落到了他在耶尔斯塔的酗酒母亲手中。4 月 8 日，克雷尔从柏林写信，欣喜若狂地表示，现在可以保证阿贝尔将在柏林获得一个永久职位。他写道：“你现在可以平静地看待你的未来了。你属于我们，你会安全的。”他总结道：“你将来到一片美好的土地，气候更好，离科学更近，离真正欣赏你、喜爱你的朋友更近。”



4 月 13 日，在一场比任何人记忆中那年晚些时候都要大的暴风雪之后，阿贝尔被安葬在弗罗兰教堂墓地。几年后，他的朋友们出资在墓前竖起了一座纪念碑。巴黎的科学家们表达了出版阿贝尔全集的愿望，1839 年，由 B. M. 霍尔姆伯编辑的《作品全集，附注释和阐述》出版。但是，1829 年在巴黎找到的那篇巴黎论文再次丢失，并未收录在霍尔姆伯的版本中。直到 1841 年，巴黎科学院的院刊（在《外国学者提交的论文集》第七卷中）才追踪并印刷了这篇巴黎论文。完整的、两卷本的《尼尔斯·亨里克·阿贝尔作品全集》（四开本，621 页和 341 页）于 1881 年出版，由路德维希·西洛和索菲斯·李编辑并注释。



当西洛和李准备这个版本时，他们试图找到巴黎论文的手稿，但在科学院的档案中无处可寻。手稿再次丢失，直到 1952 年才被维戈·布伦发现。除了八页之外，手稿位于佛罗伦萨的莫雷尼亚纳图书馆。然而，缺失的四页在几年后被找到，但这一发现直到今年才由安德烈亚·德尔·森特拉尔公之于众。多亏了他和莫雷尼亚纳图书馆，阿贝尔的手稿在佛罗伦萨地区委员会的编辑系列“文化与记忆”中得到了精美的复制。从莫雷尼亚纳图书馆借出的手稿，在 2002 年 6 月奥斯陆的阿贝尔两百周年纪念会议上成为展览的亮点。

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