数学符号体系的建立（四）

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数学符号体系的建立（四）

原创  作者  数学文化与数学教育  2026 年 1 月 14 日 20:00  山东

四、三角符号

我们今天使用的三角函数有正弦、余弦、正切、余切、正割、余割等 6 种，它们的名称及其符号的确立经历了数千年漫长的过程，凝聚了众多数学家的智慧和汗水。回望历史，我们仍能得到一些启发。

1. 正弦名称及符号

三角学起源于古希腊的天文学研究。古希腊数学家希帕克斯（约公元前 180 ～ 前 125 年）和亚历山大时期的数学家托勒密（约100～168 年）沿袭古巴比伦人的做法，把圆周等分为 360 份，每一份弧长叫做 1 度。他们在给定半径的圆中，求出不同度数的弧长所对应的弦长，谓之“弦”，制作成弦表。5 世纪末，印度数学家阿耶波多（476～550 年）在其天文学著作《阿耶波多历书》中，用弦长的一半对应弧的一半，把半弦长叫做弧的正半弦（18 世纪后简称为正弦），并重新制作了 0 度到 90 度的半弦表。

今天的正弦“sine”一词由印度梵文“正半弦”演变而来。阿耶波多用梵文表示“正半弦”，意思是猎人的弓弦，阿拉伯人音译为“jiba”。由于在书面阿拉伯语中省略去了元音，后人把辅音“jb”译为“jaib”，意思是“胸膛”。12 世纪意大利人杰拉德（约 1114～1187 年）将阿拉伯语“jaib”译为拉丁文“sinus”，意思仍为“胸膛”，但引申意为“弯曲”、“海湾”，后来英文将“sinus”改为“sine”表示正弦。1631 年，明末政治家、科学家徐光启形象地将“sine”翻译为“正半弦”或“前半弦”，简称“正弦”。

1583 年稍后，丹麦数学家芬克（1561～1656年）用缩写“sin.”表示正弦。1624 年，英国数学家冈特（1581～1626 年）在手画的图中用“sin”表示正弦。1632 年，英国数学家特雷德（1574～1660 年）在出版物中也把“sin”作为正弦符号。后来，还出现了其他表示正弦的符号，直到 18 世纪中叶之后，才统一使用“Sin”表示正弦，沿用至今。

2. 余弦名称及符号

余弦源于“余角的正弦”，据说也是阿耶波多最先使用。可以明确的是，阿拉伯天文学家、数学家巴塔尼（约 858年～929 年）在他的天文学著作中使用了“90 度的余角的正弦”概念。丹麦数学家芬克用简写的“sin.com”表示“余角的弦”，英国数学家冈特则表示为“Co.sinus”。1658 年，英国人 J.牛顿（1622～1678 年）首次使用“Cosinus”一词。从此，“Cosinus”（余弦）的名称才确定下来。后来，人们将“Cosinus”缩写为“Cos”。

3. 正切、余切名称及其符号

正切、余切起源于日影的测量。古人利用日影测定时刻，约公元前 600 年，古希腊数学家泰勒斯（约公元前 624 ～ 公元前 546 年）利用日影测量埃及金字塔的高。古阿拉伯和古印度天文学家也经常竖竿于地或把横竿垂直于墙测其日影长度，分别称做“横影（或直阴影）”和“竖影（或反阴影）”，即今天的“余切”、“正切”。1583 年，丹麦数学家芬克首次使用“tangent”（正切，芬克称补切）一词，他还用缩写符号“tan.com”表示“直阴影（余切）”，并将“tangent”缩写为“tan.”（或tang）。1620 年，英国数学家冈特首次使用“Cotangent”（余切）一词。后来，数学家们用缩写“tan”表示正切、“ctg”或“cot.”表示余切。现在世界通用的正切符号是“tan”或“tg”、余切符号是“cot”、“ctg”或“ctn”。

4. 正割、余割名称及其符号

阿拉伯数学家阿布·瓦发（940～998年）最早正式使用正割和余割，但未给出其名称。1551 年，德国数学家利提克斯（1514～1576 年）用直角三角形中的线段的比定义了正弦、余弦、正切、余切、正割、余割 6 个三角函数。1583 年，丹麦数学家芬克在其著作中首次使用正割（secant ，芬克称补割）和余割（cosecant）术语，并将“secant”缩写为“sec”。余割的缩写符号至今未统一，分别有“csc”“cosec”等。

反三角函数的名称是水到渠成的，但其符号的使用说法不一，本篇暂不涉及。

5. 历史的启迪

从以上历史事实可以看出，三角符号来源于三角运算，它们和对数符号 log 一样，既表示概念又表示运算，这为人们理解和使用带来了一定的困难。教师教学三角函数时要明确这些符号的不同意义。如 sin300 表示 300 角的正弦值，sinα 表示角 α 的正弦值，而 y = sinα 或 y = sinx 则表示角 α 或角 x 的正弦函数。

参考文献

1. 徐品方,张红.数学符号史[M].北京:科学出版社,2006.

2.（美）克莱因（Kline，M.）.古今数学思想（第 1 册）[M].张理京等,译.上海:上海科学技术出版社,2014.

3.（美）卡茨（Katz,V.J.）数学史通论[M].李文林等,译.北京:高等教育出版社,2004.

4.  汪晓勤.HPM:数学史与数学教育[M].北京：科学出版社，2017.

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