设 f(x)=3sinx+4cosx ，已知 -90°＜α,β＜90°，f(α)=1 ，f(β)=2 ，求 sin(α-β)

波斯猫猫

题：设 f(x)=3sinx+4cosx，且-90°＜α, β＜90°，
f(α)=1，f(β)=2，求sin(α-β).

思路：显然，3sinα+4cosα=1，3sinβ+4cosβ=2，

∴ 4cosα=1-3sinα，4cosβ=2-3sinβ，

4sin(α-β)=sinα(2-3sinβ)-(1-3sinα)sinβ

=2sinα-sinβ.

又3sinα+4√[1-(sinα)^2]=1, 3sinβ+4√[1-(sinβ)^2]=2,

解得，50sinα=6±16√6，25sinβ=6±4√21，

∴ 4sin(α-β)=2sinα-sinβ=25(2sinα-sinβ)/25

=[±16√6-(±4√21)]/25，即sin(α-β)=[±4√6-(±√21)]/25.

又f(-π/2)=-3sinπ/2+4cosπ/2=-3，

f(0)=3sin0+4cos0=4，

f(x)=3sinx+4cosx=5cos(x-θ)，其中sinθ=3/5,0＜θ＜π/4,

(当x=θ时，有f(x)max=5)

f(π/2)=3sinπ/2+4cosπ/2=3，∴α＜β＜0，sin(α-β)＜0.

∴ sin(α-β)=(√21-4√6)/25.

波斯猫猫

思路：显然，3sinα+4cosα=1，3sinβ+4cosβ=2，

∴ ±3√[1-(cosα)^2]+4cosα=1, ±3√[1-(cosβ)^2]+4cosβ=2,

解得50cosα=8±12√6，25cosβ=8±3√21(由条件只能取＋)，

∴ 25(cosβ-2cosα)=3√21-12√6.

3sin(α-β)=(1-4cosα)cosβ-cosα(2-4cosβ)

=cosβ-2cosα=25(cosβ-2cosα)/25

=(3√21-12√6)/25，即sin(α-β)=(√21-4√6)/25.

注：保留并求cos，避免了符号的纠结，使过程得以优化.