两个扭曲形状解开一个百年拓扑谜题

luyuanhong

两个扭曲形状解开一个百年拓扑谜题

原创  数学家  数学家  2026 年 1 月 21 日 12:53  北京

邦尼问题（Bonnet problem）探究何时只需一点点信息就足以唯一确定一个完整曲面。


Mark Belan/Quanta Magazine；来源：Publications mathématiques de l'IHES 142, 241–293 (2025)

数学家们首次发现了一个紧致类环面（如上图所示）的例子，它与另一个曲面共享相同的局部几何信息，尽管两者具有完全不同的整体结构。

引言

想象一下，如果我们的天空总是布满厚厚的、不透明的云层。无法看到星星，也无法从上方俯瞰我们的星球，我们还会发现地球是圆的吗？

答案是肯定的。通过测量地面上的特定距离和角度，我们可以确定地球是一个球体，而不是，比方说，平坦的或像甜甜圈一样——即使没有卫星图片。

数学家们发现，这对于二维曲面来说通常也是成立的：你只需要相对少量的关于曲面的局部信息，就能弄清它的整体形态。局部能够唯一地定义整体。

但在某些特殊情况下，这些有限的局部信息可能描述不止一个曲面。在过去的 150 年里，数学家们一直在编目这些例外情况：即那些通常只定义一个曲面的局部测量实际上描述了不止一个曲面的实例。但他们找到的唯一例外都不是像球体或甜甜圈那样"完美"的闭合曲面——相反，它们在某些方向上无限延伸，或者有边缘会让你"掉下去"。

没有人能找到违反规则的闭合曲面。这开始让人觉得似乎根本就不存在这样的曲面。也许这类曲面总是能够通过通常的局部信息被唯一地定义。

如今，数学家们终于发现了这些被长期寻找的例外之一。在一篇 10 月发表的论文中，三位研究者——柏林工业大学的 Alexander Bobenko 、慕尼黑工业大学的 Tim Hoffmann 以及北卡罗莱纳州立大学的 Andrew Sageman-Furnas ——描述了一对非常扭曲的闭合曲面，它们尽管拥有相同的局部信息，却具有完全不同的整体结构。

找到它们耗费了数年的艰辛努力、几台“过热”的笔记本电脑，以及来自几何学一个看似不相关角落的意外线索。

几何上的不匹配

数学家们有各种方法来局部描述一个曲面，但其中两种尤其有用。

一种捕捉曲面“外在”曲率的信息。在你的曲面上选择一个点。在该点，有无穷多个方向可以计算曲面在空间中弯曲的速度——即所谓的曲率。只关注其中曲率最大和最小的方向，然后取这两个值的平均值。得到的数字称为平均曲率（mean curvature）。你可以计算曲面上任意给定点的平均曲率，以更好地理解它是如何置身于周围空间中的。

另一种测量捕捉曲面“内在”曲率的信息——这是一种不依赖于曲面所处空间的几何性质。考虑一张平铺的纸。你可以将它卷成一个圆柱管，而无需拉伸或撕裂它。如果纸上的两个点由一条曲线连接，那么该曲线在圆柱上的长度将保持不变。这意味着纸张和圆柱具有相同的“度量”（metric）或距离概念。但尝试将这张纸包裹在一个球体上，情况就不再如此了。你将不得不拉伸、裁剪或弄皱纸张，点之间的曲线长度也会改变。因此，这两个曲面具有不同的度量。


Mark Belan/Quanta Magazine

1867 年，法国数学家皮埃尔·奥西安·邦尼（Pierre Ossian Bonnet）证明，如果你知道一个曲面上每个点的度量和平均曲率，那么这足以告诉你该曲面是什么。在大多数情况下。

但“大多数情况”并非“所有情况”，而正是这种附加说明让数学家们心痒难耐。

在邦尼证明之后的 150 年里，数学家们发现了各种违反他经验法则的曲面。这些曲面具有相同的度量和平均曲率，却没有相同的整体结构。

但是所有这些曲面都是数学家所称的非紧致曲面。它们不像球体、甜甜圈和其他“紧致”曲面那样能完美地闭合起来。相反，一个非紧致曲面可能在某些方向上无限延伸（如平面或圆柱体），或者有边缘使其突然终止（如从更大形状上切下的一块）。

紧致曲面则更受限制。它们必须满足各种约束才能自身扭转并完美闭合。因此，认为它们可能由其度量和平均曲率唯一定义似乎是合理的。1981 年，数学家 Blaine Lawson 和 Renato de Azevedo Tribuzy 证明，对于球体以及任何与其拓扑等价的曲面——即任何没有洞的紧致曲面——这是成立的。

当涉及到带有一个洞的紧致曲面（称为环面（torus）的拓扑甜甜圈）时，则有更多的灵活空间。数学家们表明，给定的度量和平均曲率最多可以对应两个不同的环面。

然而，没有人能找到这种“紧致邦尼对”的例子，因此几十年来，普遍的观点是环面类似于球面，给定的度量和平均曲率将定义一个唯一的环面。“人们相信了很长时间，”杜克大学的罗伯特·布莱恩特（Robert Bryant）说，“因为他们无法构造出任何例子。”

但他们错了。

像素化的世界

亚历山大·博本科（Alexander Bobenko）在过去二十年里一直在钻研数学“甜甜圈”。在 21 世纪初，他曾试图证明紧致邦尼对确实存在。但在意识到这个问题需要他花上不止几个月才能解决后，他将其搁置一旁，专注于他认为能更快取得进展的问题。

他转向了一个看似与邦尼问题无关的数学领域。但这个领域最终成为了解决该问题的关键。

博本科开始思考“离散”曲面，它们有点像光滑曲面的像素化低分辨率版本。数学家研究离散曲面，因为它们本身具有重要的几何性质，并且在计算机科学、物理学、工程学等领域有实际应用。

要得到一个离散曲面，取一个有限的点集，并用线连接它们以形成一个带有小平面的形状。通过选择不同的点，你可以用不同的方式表示一个给定的光滑曲面。以下是如何表示一个球体的一些例子：


Mark Belan/Quanta Magazine

有些离散曲面是比另一些更好的表示。博本科和他经常合作的蒂姆·霍夫曼（Tim Hoffmann）花了近二十年时间，致力于发展一种理论，探讨如何利用离散曲面保留光滑曲面最显著的几何特征。

21 世纪 10 年代，当时还是哥廷根大学博士生的安德鲁·塞格曼-弗纳斯（Andrew Sageman-Furnas）加入了这项工作——并将邦尼问题重新带入讨论。

塞格曼-弗纳斯因对编织织物（如渔网，本质上是离散曲面）的力学兴趣而进入离散数学领域。在此过程中，他提出了一个离散版本的邦尼问题：局部信息何时能唯一定义一个离散曲面，何时又不能？通过改编一种已知的生成邦尼规则例外的方法，塞格曼-弗纳斯与他的导师马克斯·瓦德茨基（Max Wardetzky）以及霍夫曼一起，找到了在离散情况下构建例外的配方。

与光滑情况一样，这些例外总是非紧致的。但由于离散曲面不包含无限多的点，因此可以使用计算机研究它们。塞格曼-弗纳斯想知道，在离散几何的世界里，是否有可能使用计算暴力方法找到一个紧致邦尼对？如果可能，那么离散情况或许也能引领通往光滑解的道路。

于是，他作为博士后研究员加入了柏林博本科的研究小组，与博本科和霍夫曼一起开始了工作。

曲面探索

2018 年春天，塞格曼-弗纳斯开始通过计算机搜索一种特殊类型的曲面——一种可以转化为邦尼对的曲面，类似于酵母酵头作为制作不同种类面包的基础。这个“起始”曲面将类似于他研究生时期用于制作离散邦尼对的那些曲面。不同之处在于，这次他要求它是一个环面。也就是说，它必须是紧致的并且带有一个或多个洞。

霍夫曼回忆道，塞格曼-弗纳斯消失了几个星期，甚至可能几个月。当这位年轻数学家最终重新出现时，他找到了他一直在寻找的东西：一个非常尖刺的形状，看起来更像是折纸犀牛，而不是环面。


Mark Belan/Quanta Magazine；来源：Publications mathématiques de l'IHES 142, 241–293 (2025) "犀牛"

但它确实是一个环面。而且根据塞格曼-弗纳斯的计算机程序，它具备了作为起始曲面以生成邦尼对所需的所有其他属性。更重要的是，当塞格曼-弗纳斯在他的计算机上生成那些邦尼对时，它们也是环面。从“犀牛”到邦尼对的变换似乎并没有将“犀牛”扭曲成非紧致曲面。曲面保持紧致。

“当你开始进行计算机探索和设计时，”塞格曼-弗纳斯说，“你可以得到远超你想象可能性的新例子。”

但这会不会好得不真实呢？计算机程序会产生舍入误差：塞格曼-弗纳斯的“犀牛”可能看似满足所需标准，它生成的邦尼对可能看起来像是环面，但这可能全是海市蜃楼，是微小计算误差造成的假象。没有严格的证明，数学家们无法确定。

“他出现了，给我们看了一些看起来非常奇怪的几何物体，很可能就是数值垃圾，”霍夫曼说，“半开玩笑地说，我可能对整个项目最宝贵的贡献就是当时说了句：'我见过更糟的。'”

花了一些时间，但霍夫曼和塞格曼-弗纳斯最终说服自己，这个“犀牛”值得认真对待。而如果有可能找到这样一个看似可靠的离散邦尼对例子，也许光滑情况也并非完全没有希望。霍夫曼和塞格曼-弗纳斯在那个炎热的夏天仔细研究“犀牛”以寻找线索，有时一次坐在视频聊天中 8 到 12 个小时，寻找可能帮助他们缩小搜索光滑邦尼环面范围的异常属性和几何约束。

随着 9 月的到来，他们终于发现了一个新的线索，感觉非常有希望，以至于将博本科拉回到了他几十年前放弃的那个问题中。

闭合环路

这个线索与环绕"犀牛"边缘的特定线条有关。

已知这些线条能够提供关于“犀牛”曲率的重要信息——描绘出它弯曲和折叠最多及最少的方向。由于“犀牛”是一个存在于三维空间中的二维曲面，数学家们原本期望这些线条也会在三维空间中划出路径。但相反，它们总是要么位于一个平面上，要么位于一个球面上。这些排列方式极不可能是偶然发生的。

“这向我们暗示，确实有特殊的事情正在发生，”塞格曼-弗纳斯说，这是“引人注目的”。

与离散曲面不同，光滑曲面没有边缘。但你仍然可以绘制“曲率线”来追踪最大和最小弯曲的路径。塞格曼-弗纳斯、博本科和霍夫曼决定寻找“犀牛”的一个光滑类比物，其曲率线同样被限制在平面或球面上。或许一个具有这些属性的起始曲面可以产生光滑的邦尼环面。

但尚不清楚这样的曲面是否真的存在。

随后，博本科意识到，早在一个多世纪前，法国数学家让·加斯东·达布就已经几乎准确地列出了数学家们现在需要的东西。

达布提出了用于生成具有合适类型曲率线的曲面的公式。问题在于，他的公式产生的曲率线不会自行首尾相接成环。相反，它们“看起来像螺旋线并趋于无穷远”，博本科说，“完全没有机会让它们闭合。”这意味着，虽然曲率线可能位于平面和球面上，但整体曲面不会是环面。

经过多年的辛勤工作，这几位数学家——结合使用纸笔技术和计算实验——找到了调整达布公式的方法，使得曲率线能够闭合。他们终于找到了“犀牛”的光滑类比物（尽管两者看起来不太像）。

此外，正如他们所希望的那样，这个光滑的“犀牛”可以生成一对新的环面，它们具有相同的平均曲率和度量数据，但整体结构不同。该团队终于得到了他们对原始邦尼问题的答案：有些环面毕竟不能由其局部特征唯一定义。

但当他们算出这个邦尼对的实际外观时，他们发现这两个环面是彼此的镜像。“从技术上讲，这不是问题，”塞格曼-弗纳斯说，“形式上，它解决了问题。”但他补充说，这仍然令人不满意。

于是在接下来的一年里，他们尝试以各种方式调整他们的光滑“犀牛”。最终，他们意识到，如果他们放弃要求一组曲率线必须位于球面上，他们可以构造出一个新的光滑“犀牛”来实现他们的目标。然后他们利用这个曲面生成了一个新的邦尼对——这次是两个非常扭曲的环面，它们显然是不同的曲面，但仍然具有相同的度量和平均曲率。


Mark Belan/Quanta Magazine；来源：Publications mathématiques de l'IHES 142, 241–293 (2025) 该团队最终的紧致邦尼对

这一结果令马萨诸塞大学阿默斯特分校的数学家罗布·库斯纳（Rob Kusner）感到惊讶。据他所说，它证明了即使是环面——一些最“完美”、研究最深入的曲面——也不能总是被它们的局部特征完美描述。

“这是一个例子，说明我们的直觉还不够好，”杜克大学的数学家布莱恩特说。

尽管如此，数学家们找到的这两个环面有点奇怪：它们像 8 字形一样穿过自身。博本科现在希望证明存在不自相交的邦尼环面。

邦尼环面的出现是对博本科和霍夫曼数十年来在离散曲面工作上的一种受欢迎的验证。传统上，光滑形状的几何学发展要快得多，拖着不那么发达的离散几何理论在后面。但在这项工作中，离散理论冲在了前面，并最终使得在光滑一侧取得进展成为可能。

据霍夫曼说，这突出了一个事实：虽然离散曲面作为其光滑对应物的模型看起来可能不那么复杂，但它们有自己的数学生命。离散世界可以像光滑世界一样丰富，甚至更丰富，揭示出否则可能会丢失的额外对称性和联系。

"人们有点忘记了这种离散的方面，"霍夫曼说，但"仍然可以从中获益。"

本文译自 Quanta Magazine，Elise Cutts 文，数学家公众号编译。

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