完美数之谜

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完美数之谜

原创  云虹科普  云虹说科普  2026 年 1 月 6 日 20:14  河南

大家都说，自然界中没有完美的事物。但在数学的世界里，有一类很神奇的数字，它们的真因子之和等于其自身，大家经常将它们比作数学界的完美精灵，所以我们叫它们完全数（Perfect number），又名完美数或完备数。例如第一个完全数“6”，它有 1，2，3，6 四个因子，除去其本身以外，另外三个数相加，1+2+3=6 ，正好等于其本身。若 n 是一个完全数，那么其所有真因子之和也为 n 。

完全数的概念最早可以追溯到古希腊数学家毕达哥拉斯，他的学派系统地研究过这类数字，将这类数字视作宇宙的本源。正因为完全数“自足”的特征，所以在哲学层面被赋予“完美”的象征。另外，中国古代有六谷、六畜，战国时期有六国，天上有四方 28 星宿等等，6 和 28 之所以熠熠生辉，或许正是因为它们是完全数呢！


完全数的特性（以 6 和 28 为例）|图片来源：手搓的

完全数被发现之初的很长一段时间里，人们只确认了 6、28、496 这四个完全数。一直到 300 年后，欧几里得发现 6 可以写成 (2^2-1)×2^1 ，28 可以写成  (2^3-1)×2^2 ，496 可以写成 (2^5-1)×2^4 。他依此总结出了完全数的公式：(2^p-1)×2^(p-1) 。公式中 p 为质数。通过这一公式，第四个完全数—— 8128 也呈现在世人面前。

8128 被发现的时候，数学界出现了一套当时看起来正确的猜想：

（1）第 n 个完全数有 n 位数；

（2）所有完全数都是偶数；

（3）所有完全数都以 6 和 8 交替结尾；

（4）欧几里得的算法可以产生所有偶完全数；

（5）完全数有无数个。


完全数 | 图片来源：自己做的

这五个猜想提出的 1000 年里，没有任何人可以证明或证伪任何一个猜想。直到 13 世纪，有人对此专门进行了研究，发现 p 为 9 和 11 的数字并非完全数，真正的第五个完全数是 33550336 ，而第六个完全数是 8589869056 ，由于第 5 个完全数有 8 位数，第五和第六个完全数的结尾都是 6 ，直接推翻了上述猜想 1 和猜想 3 。、

18 世纪，欧拉证实了欧几里得的公式的逆命题，也就是说所有偶完全数必定符合这一规律，就这样证实了上述猜想 4 。欧几里得的公式中，2^p-1 是梅森素数。也就是说发现一个梅森素数，那个梅森素数会将其对应的完全数当作礼物送给世人。

梅森素数的形式决定了它的特殊性，当 p 为合数时，2^p-1 不再是素数（质数）。因此 p 必须是素数，但 p 为素数时满足这个形式的数也未必素数，例如 p=11 时，2^11-1=2047=23×89（这也是为什么 p 为 11 时套欧几里得的公式得到的数并非完全数的原因）。

截至 2023 年，人们也只发现了 51 个梅森素数，对应了已确定的 51 个完全数，这也从侧面反映了完全数的稀缺性。由于寻找完全数本身不是一件容易的事，所以完全数是有限多个还是无限多个到现在还是未解之谜。

完全数有很多有趣的特性，例如，所有完全数都是三角形数（一定数目的圆点等距离排列可以形成一个等边三角形）；都可以表达为 2 的一些连续正整数次幂之和，且数量为连续质数【例如 6=2^1+2^2 ，28=2^2+2^3+2^4 】；除 6 以外的完全数都可以表示为连续奇立方数之和，并呈规律增加；都是以 6 或 8 结尾（但不是这两个数交替结尾哦）……


完全数表达式 | 图片来源：自己拍的

看到这里你们可能会问，为什么一直都在强调偶完全数？难道还有奇完全数吗？很遗憾地告诉各位，时至今日，人们发现的 51 个完全数都是偶数。千百年来，数学家们既未能证明奇完全数不存在，也没能找到任何一个奇完全数的实例。

通过一代又一代数学家前赴后继的研究，数学界对奇完全数设定了一系列苛刻的条件，即如果奇完全数 n 真的存在，那它必须满足：

1. n>10^1500（即 1 后面 1500 个 0 ，这一下限还在不断被刷新）；

2. n 至少包含 8 个不同的素因数，且其中最大的素因数须大于 1000000 ；

3. 其形式必然是 12^p+1 或 36^p+9 的形式，其中 p 为素数；

4. n 不能被 105 整除。

也就是说，若奇完全数真的存在，那它必定极其庞大且结构复杂，这也使得奇完全数的寻找难度极大。对于这件事，数学界在向两个方向推进：一是通过更严格的限制来缩小奇完全数的范围，直到证明其不存在；二是设计更高效的算法，排查更大的数字，期待找到奇完全数。

奇完全数是否存在，就目前而言依旧是一个大大的谜题，奇完全数的存在与否不仅是一个数论难题，更与黎曼猜想、哥德巴赫猜想等其他数学难题有千丝万缕的联系，若能解决，将会是整个数论的重大突破。

目前，对完全数的 5 大猜想已经证实 1 条，证伪 2 条。另外两条是真是假，就靠今后的各位数学家努力了。

云虹说科普

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偶完全数的公式：(2^p-1)×2^(p-1)，寻找梅森素数2^p-1的原因之一就是为了寻找偶完美数。

同时，也可以考验计算机的计算能力和速度，尤其是速度！