逻辑与推理｜兔子数学家：斐波那契

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逻辑与推理｜兔子数学家：斐波那契

原创  天天爱科学  天天爱科学杂志  2026 年 1 月 22 日 10:00  北京

如果有一对新生的兔子（一雄一雌）， 它们在出生的第 3 个月开始就有繁殖能力， 每个月能生出一对新的兔子（也是一雄一雌）。 假设兔子不会死亡，那么从第一对兔子开始， 经过若干个月后，兔子的总数会是多少？

这个有趣的问题，早在 13 世纪就被意大利数学家斐波那契研究过——没错，就是那位中世纪的数学大神，他可是一位不折不扣 的“理论养兔达人”。

01  阿拉伯数字的跨界“带货王”

在接受正式的学校教育之前，斐波那契一直跟随父亲四处游历，也因此接触到各种形式的数学知识。尽管此时斐波那契脑海中的知识是混沌且不成体系的，但数学的种子已经悄悄种下。

后来，斐波那契的父亲被比萨共和国任命为商人官员代表，驻扎在布吉亚，斐波那契才得以结束颠沛流离的学习生涯。学校系统、有序的学习也让斐波那契将知识系统性地整合、深化，并接触到更为严谨的数学理论与科学方法，他迎来了数学知识的种子“发芽”的时刻。



在学校里，斐波那契的数学学习得到了一位阿拉伯老师的指导。相比烦琐复杂的古罗马数字，印度—阿拉伯数字系统更加简洁明了，引起了斐波那契强烈的兴趣。

为了更加系统学习阿拉伯数学，斐波那契遍访埃及、叙利亚、希腊以及西西里、普罗旺斯等地，向地中海地区有名的数学家学习请教。在访问游历过程中，斐波那契也见识了不同国家的商业算数体系。



在系统学习了数学知识后， 斐波那契回到比萨，将自己在各国的数学见闻整理成书。这些书将东西方数学成就相结合，打破了中世纪欧洲数学被隔断的黑暗时代，对后来欧洲数学的发展产生了深远影响。其中，《算盘书》是斐波那契所有著作中最重要、最著名的一本。

02  算盘书

假如一个罗马人告诉你：Ⅲ 表示 3 ，Ⅱ 表示 2 ，那么 Ⅲ Ⅱ是 多少呢？32 ？320 ？3020 ？好像都可以。没错，“Ⅲ Ⅱ”这个符号所代表的意义可以是 3、2、0 组成的任何一个数。因此，在罗马数字体系中，32 的正确表达方式是 X X XⅠⅠ（“Ⅹ”是罗马数字 10 ，“Ⅰ”是罗马数字 1 ），因为 32=10+10+10+1+1 。



这时候，又走来一个希腊人。他说：“我们没这么麻烦。我们有字母系统，每个数字都有对应的字母。alpha 表示 1 ，iota 表示 10 ，rho 表示 100 ，所以 111 就是 rho-iota-alpha 。”

但是，这些笨拙又烦琐的字母数字系统光是看着就够眼花缭乱的了，更别提拿它们来进行加、减、乘、除的运算，而印度—阿拉伯数字却能精准地表示出不同位数的变化，并让今天的你能够流利地进行数学运算。所以，现在你是否能理解斐波那契第一次接触到印度—阿拉伯数字时的惊艳，以及介绍印度—阿拉伯数字和十进制的《算盘书》为什么能风靡当时的意大利，甚至整个欧洲的数学界了。



除了介绍印度—阿拉伯数字和十进制的读写，斐波那契还在《算盘书》中详细讲解了四则运算、分数、开方的计算，甚至还包括线性方程和二次方程式的解决办法。这些如今常常出现在数学课本里的方程和数学公式在当时可谓震惊了整个数学界。

在《算盘书》中，斐波那契还构建了各种现实场景，将印度—阿拉伯数字系统用于货币兑换、重量和度量转换、利润计算、汇率计算等商业场景，你甚至可以在书中找到利息支付的计算方法，尽管当时的大部分地区禁止高利贷。这些数学实用场景的出现也为银行业和会计学的进一步发展奠定了基础。

03  神奇的斐波那契数列

说起斐波那契和数学的最深渊源，就不得不提到我们开头说的那一对小兔子。这对小兔子一雄一雌，而且永远不会死去。从出生后的第3个月开始，每对小兔子每个月都能生下一对小兔子。



于是，随着月份的增加，月底兔子的对数组成了一组有规律的数列：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144 ……



发现了吗？从第 3 个数开始，每个数都恰好等于前两个数之和。这组特殊的数列就是斐波那契数列。

斐波那契数列看似简单，却以一种简洁的方式展示了自然规律的精妙。 在自然界，几乎所有植物花朵的数量都对应着一个斐波那契数列。海棠花是 2 瓣花瓣，百合花和鸢尾花是 3 瓣花瓣。5 瓣的花有梅花、桃花、苹果花等。波斯菊是 8 瓣，大部分的菊科植物是 13 瓣。雏菊的花瓣更多，有 34 、55 或 89 瓣花瓣。植物叶片的排布，例如，松果和菠萝的螺线也都对应着斐波那契数列。经过研究，科学家发现斐波那契数列的排列方式能使植物更有效地利用空间、阳光和水分。



斐波那契数列的另一个神奇之处在于，随着数字的增长，相邻两个数字的比值逐渐趋近于 0.618 ，也就是希腊人所说的黄金比例。鹦鹉螺的外壳看起来和谐而充满美感，就是因为它的螺线完全符合了黄金分割矩形（矩形的长 ：宽 = 1：0.618 ）的构造。



音乐家贝多芬在《第九交响曲》中融入了斐波那契数列的特殊规律，使作品更有节奏感。画家参考斐波那契数列的比例关系决定画面物体的大小和颜色使用的比例，使画面更加和谐，就连我们日常玩对抗类的战斗游戏里，也藏着斐波那契数列。

一开始，出场的敌人数量少，战斗力弱，而随着关卡的深入，游戏难度呈斐波那契数列增加，使游戏更具挑战性和趣味性。这个看似简单的斐波那契书数列深刻影响着我们生活的方方面面，演变为一种跨越学科、穿透时空的通用语言与美学法则。

文章转载自《天天爱科学》（逻辑与推理）1 月刊。

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