欧拉公式的多种证明

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欧拉公式的多种证明

原创 GG  数语 ShuYu  2026 年 1 月 18 日 08:32  四川

欧拉公式的证明概要

从欧拉到勒让德：三种证明思路的演进

欧拉公式 V-E+F=2 的证明历程展现了数学思维从组合到几何、从局部到整体的深刻演变，每一种证明方法都开创了新的数学分支。

欧拉的组合证明（1750 年 —— 第一个非几何式的证明方法）

历史说明

欧拉对该公式的证明是一种组合思路，且存在细节问题，因此不是严格的。 但这种思路开创了用整体性质研究几何对象的先河。

证明特点

欧拉的证明是非几何式的，利用整体性质，且几乎和传统几何无关。 这与《几何原本》中用局部角度等信息推出多面体整体特性的方法形成鲜明对比。

该证明冗长，略。

柯西的严格证明（19 世纪 —— 首次明说多面体是空心的）

证明步骤

柯西是首次明说多面体是空心的。其证明步骤是:

1. 从多面体上移除一个面

2. 通过把其他顶点完好地“运送”到这个面上，得到一个由给定轮廓和它内部的若干多边形组成的平面图形

3. 证明每个如上的图都满足 V-E+F=1

4. 通过三角剖分保持 V-E+F 不变，直到最后只有一个三角形

核心思想: 通过先添加边再减少边（三角剖分），使得每一步都保持 V-E+F 保持不变， 直到最后只有一个三角形。


多面体投影到底面

细节处理

最外侧的三角形可能有一条或者两条边是整张图的边缘。前一种情况移除这个三角形时只需要取走那条边缘边即可，而不必取走任何顶点。后一种情况移除三角形时需要去掉两条边缘边和一个顶点。

适用范围

该证明所适用的范围并不仅仅是凸多面体。关键条件是:

如果一个多面体被去掉一个面后，它的其余部分能被铺展到那个面所处的平面上， 且不存在重叠或折叠，那么柯西的证明就适用于它。关键在于，多面体必须是球状的。

球面推广：勒让德的球面证明（1792 年 —— 第一个严格的证明方法）

证明思路

1792 年，法国数学家勒让德在其《几何学原理》（《几何原本》之后最有名的几何教材之一）中， 从球面几何的角度给出了巧妙而严格的证明。

核心步骤：

1. 将凸多面体放到球面内，在多面体内部选一个点 x 作为射线原点

2. 将多面体面投影到球面上，每个面都被投影成测地多边形

3. 使用哈利奥特-吉拉尔定理计算测地多边形面积

4. 通过面积相加得到欧拉公式


球面上的月牙形区域

月牙形面积计算

球面投影的关键在于理解月牙形区域的面积计算。当两个大圆相交时，它们围成四个月牙形区域。

直接计算法：

● 单位球面总面积 = 4π

● 两大圆夹角为 θ 时，月牙面积 = 4π × θ/(2π）= 2θ

● 即：月牙面积 = 球面积  × 角度/圆周  

哈利奥特-吉拉尔定理

测地三角形：

单位球面上，一个内角大小分别为  a,b,c 的测地三角形的面积是:

面积 = a + b + c - π

利用月牙面积和对称性证明：

● 三条大圆两两相交，形成 8 个月牙形区域

● 每个角 a 对应的月牙面积 = 2a（利用直接计算法）

● 对称性：三角形外的月牙总面积 = 2a+2b+2c

● 球面总面积 = 三角形面积 + 外部月牙面积 + 对径区域

● 化简得：三角形面积 =  a + b + c - π


球面上的测地三角形

一般测地多边形

单位球面上，内角大小分别为 a1,a2,…,an 的测地 n 边形的面积是:

面积 = a1 + a2 + … + an - nπ + 2π

视觉表征法

一种直观的视觉表征：给多边形的每个内角标上大小，每条棱上写一个 -π ， 并在它中心写上 2π ，面积就是这些所有量的和。


投影后的视觉表征

数语  ShuYu