微积分趣话（1）——从圆开始

luyuanhong

微积分趣话（1）——从圆开始

原创  邓林  一个独立的教书手艺人  2026 年 2 月 3 日 20:21  浙江

公元前 250 年左右的古希腊，掀起了一股解决曲线之谜的数学热潮。利用无穷在曲线形状和直线形状之间搭建了一座桥梁，他们希望能够通过建立两类之间的联系，通过直线几何学的方法和技巧来破解曲线几何学的问题。圆是几何学中最简单的曲线，在古代也被认为是最完美的曲线（曲线闭环），然而对圆的测量——用数字量化其属性——却超出了几何学的范畴。公元前 426 - 373 年的古希腊诡辩学派安提丰提出穷竭法 “化圆为方”求面积，是极限思想的雏形。


古希腊学者

公元前 400-347 年，古希腊数学家欧几里得发展了穷竭法，在他的著作《几何原本》中能找到运用穷竭法证明所有圆的面积与其半径平方之比都相等的证据，但它并未提到这个通用比率接近 3.14 。这表明我们还需要某种更深层次的东西。也就是说，求解 π 值需要一个新的数学分支，它能有效地处理曲线形状。


正在作图计算的欧几里得

公元前 287 - 212 年，古希腊数学家阿基米德对如何测量曲线的长度、曲面的面积或者曲面体的体积，让阿基米德深深着迷。阿基米德首先选择从圆内接六边形入手，他可以轻易地计算出它的周长，因为圆内接六边形包含 6 个等边三角形，它们每条边的长度等于圆的半径，那么六边形的周长等于 6 倍圆的半径，用符号可表示为 p=6r 。由于的周长 C 大于六边形的周长 p ，必定可以得出 C>6r 的结论。


阿基米德的方法

这个论证给了阿基米德一个圆周率下限，圆周率用希腊字母 π 表示，其定义是圆的周长与直径之比。因为直径 d=2r ，不等式 C>6r 意味着：



因此，该论证过程证明 π>3 。当从六边形中得出结论之后，他缩短了边长，并将边长数翻倍。他的做法是，在每段弧的中点处，用两段线段取代之前的横跨弧的一个大线段。之后，阿基米德不断重复这一做法。沉迷其中的他从 6 边形到 12 边形，然后是 24 边形、48 边形、96 边形，并以令人头痛不已的精密度算出了这些不断缩小的边长。


阿基米德的论证方法

随着边长不断缩小，计算难度变得越来越大，他借助勾股定理来确定边长。这就需要他用纸笔计算平方根，非常麻烦。为了确保他算出的周长总是小于圆的周长，他必须保证当他需要近似分数被低估的时候，该值要取平方根的下限；而当他需要近似分数被高估的时候，该值则要取平方根的上限。无论是在逻辑上还是在算术上，阿基米德计算 π 值的行为都堪称壮举。借助圆内接 96 边形和圆外接 96 边形，他最终证明 π 大于 3+10/71 而小于 3+10/70（ 3+10/70=22/7 ）。



求解出圆周率 π 的值，是积分学取得的第一个胜利。但令人奇怪的是，圆周率并未出现在阿基米德的圆面积公式 A=rC/2 里，他也没有写下一个类似于 C=πd 的方程，从而将圆与直径联系起来，他认为圆周率 π 不是一个数，而是两个长度之比，即圆的周长与直径之比，是由数字 3 和小数点后面无穷无尽毫无规律的数组成，这对于当时的人来说，难以理解，它是一个陌生、超凡的存在，比任何数都奇异，大家并不把它看作是一个数。从根本上来说，圆周率是微积分的产物，它就像微积分的缩影，微积分是用无穷来研究有限，用直线来研究曲线。无穷原则是破解曲线之谜的钥匙，而它最早出现在圆周率的探索之中。



公元前 212 年的一天黎明，罗马帝国的军队偷袭了一个小国——叙拉古王国。在叙古拉古城的一个院子里，阿基米德坐在残缺的石墙旁边，正在沙地上画着一个几何图形。一个罗马士兵命令阿基米德离开，要带他去见罗马元帅马塞拉斯，阿基米德做了个手势让罗马士兵站远一点，并说道：“别弄坏了我的图！”罗马士兵勃然大怒，拔出剑，杀死了这位伟大的科学家、数学家阿基米德。


阿基米德之死

罗马元帅马塞拉斯将杀死阿基米德的士兵当作杀人犯予以处决，他为阿基米德举行了隆重的葬礼，并为阿基米德修建了一座陵墓，在墓碑上根据阿基米德生前的遗愿，刻上了"圆柱内切球"这一几何图形。


阿基米德的墓碑

公元 225 年—约 295 年，我国的数学家刘徽采用了类似的夹逼法——割圆术。假设圆的半径为 1 ，则圆的面积等于 π ，圆内画内接正六边形和正十二边形，正十二边形的面积记为 S12 ，正六边形的面积记为 S6 ，明显圆的面积大于正十二边形的面积，也就是 π 的下限。割圆术的精髓在于求上限，如下图所示，我们沿着正六边形的边长把圆外的长方形补齐，长方形的面积就等于如下图所示绿色阴影部分面积的两倍，六个阴影部分的面积等于 S12-S6 。六个长方形的面积就等于 2(S12-S6) ，所以，π 的上限就等于 3S12-2S6 。后来祖冲之根据刘徽的方法计算到了 24576 边形，从而得到 3.1415926 这个结果。这个结果是之后 1000 年之内最准确的结果。



一个独立的教书手艺人